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leçon 56 : suites monotones, suites adjacentes...

Suites monotones, suites adjacentes.
Application à l'approximation et au développement décimal d'un nombre réél.
Utilisation de la calculatrice.

Prérequis : suites numériques et suites convergentes

I. Suites monotones.

Définition :
i) (u_n)_n est (strictement) croissante si, quelquesoit

, U_n+1

u_n (U_n+1 > u_n).
ii) (u_n)_n est (strictement) décroissante si, quelquesoit

, U_n+1

u_n (U_n+1 < u_n).
iii) (u_n)_n est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.

Exemple : monotonie de $\text{[math]}$

Théorème :
Soit (u_n)_n une suite réelle croissante (respectivement décroissante).
Elle converge si et seulement si elle est majorée (respectivement minorée).

Démonstration : Soit l=sup(u_n). Montrons que (u_n) converge vers l.
On a :
i) quelquesoit

, U_n+1

u_n
ii)

, U_n+1

l
Comme l=sup(u_n) alors l- epsilon

n'est pas un majorant de (u_n).
Donc ilexiste

N₀

tel que l- epsilon

U_N₀
Or, d'après i) on a quelquesoit

N₀, u_n

U_N₀
Donc, quelquesoit

n > N₀, l- epsilon

U_N₀

u_n

l < l+

>0,

N₀

U_N₀, |u_n-l| < epsilon

CQFD.

Exemple : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
(croissante, majorée par 2).

II. Suites adjacentes.

Définition :
(u_n) et (v_n) sont dites adjacentes si :

(u_n) croissante
(v_n) décroissante
lim (u_n-v_n) = 0

Théorème :
Deux suites adjacentes sont convergentes, et ont même limite l
et, si (u_n) $\text{[math]}$ et (v_n) $\text{[math]}$ alors quelquesoit

(p,q)

², U_p

V_q
(et même, quelquesoit

, u_n

U_n+1

V_n+1

v_n)

Démonstration :

convergence : Supporsons que (u_n) et (v_n) divergent.
Comme (u_n) $\text{[math]}$ , (u_n) fleche

, de même (v_n) fleche

donc (u_n-v_n) fleche

contradiction implique

elles convergent.

même limite : On suppose (u_n) fleche

l et (v_n) fleche

l'
alors (u_n-v_n) fleche

l-l', or (u_n-v_n) fleche

l=l'
ou u_n=v_n+(u_n-v_n), en passant à la limite implique

l=l'
l l' 0

2^èmedémo :
u $\text{[math]}$ , v $\text{[math]}$
implique

(v-u) $\text{[math]}$ , et cv vers 0.
implique

minorée par 0
implique

u_n

v_n
Or v_n infegal

v₀

u_n

v₀

$\text{[math]}$ et majorée implique

converge

Remarque : Si (u_n) et (v_n) sont adjacentes, ce sont des valeurs approchées de la limite commune l, avec une erreur inférieure à epsilon

_n=(u_n-v_n)

Exemple : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

III. Application à l'approximation d'un réél.

1°) Approximation du nombre e.

, $\text{[math]}$
On montre que cette suite converge vers l infegal

3
((u_n) est clairement croissante, et on vérifie que quelquesoit

1, on a :
n! supegal

2^n-1, d'où u_n infegal

$\text{[math]}$ infegal

3
car $\text{[math]}$ )

Soit maintenant (v_n) la suite de terme général v_n=u_n+ $\text{[math]}$
On montre que (u_n) et (v_n) sont adjacentes, et
quelquesoit

, u_n

v_n
Le nombre l est en fait le nombre e, base du logarithme népérien.
Démonstration : laissée au lecteur

Si on veut une valeur approchée de e à 10^-3 près, il suffit de choisir n tel que (v_n-u_n) infegal

10^-3, c'est à dire : $\text{[math]}$ , soit n supegal

6
ce qui donne : 2,718 infegal

2,719

2°) Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème :
Soit f : I fleche

une application continue, a et b appartiennent à I, avec a < b, w un réél compris entre f(a) et f(b).
Alors ilexiste

[a,b] tel que w=f(c)

Démonstration : f(a)<f(b)
On construit par récurrence 2 suites (u_n) et (v_n) en posant
u₀=a, v₀=b

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sinon.

On montre que ces 2 suites sont adjacentes, elles convergent vers l.
Par construction, f(u_n) infegal

f(v_n)

f(l)=w.

Application : approximation de $\text{[math]}$ .
On définit (u_n) et (v_n) en posant :
u₀=1, v₀=2,
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sinon.

Ces 2 suites sont adjacentes, et convergent vers l qui vérifie l²=2.
On a, quelquesoit n appartient , u_n infegal l infegal v_n
et $\text{[math]}$

Par exemple, il suffit de choisir n tel que $\text{[math]}$ pour avoir une approximation (un encadrement) de $\text{[math]}$ avec une amplitude de 10^-5.
implique n=17 u₁₇=1,4142074585 et v₁₇=1,414215...

IV. Approximation d'un réél.

Lemme :
Pour tout réel x, et tout entier naturel n, il existe un unique entier relatif p_n tel que :
$\text{[math]}$

Démonstration : p_n=E(10ⁿx) avec E(x) infegal

x < E(x)+1
implique

p_n

10ⁿx p_n p_n+1

Définition : Les décimaux $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont appelées valeurs décimales approchées de x.

Théorème : (d_n)_n et (e_n)_n sont adjacents, de limite x.

+ Calculatrice

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