Distances dans un plan rapporté à un repère orthonormé

Distance entre deux points

Distance d'un point à une droite

Distance entre deux points

Soient A et B deux points tels que : $A(x_A\;;y_A)\text{ et } B(x_B\;;y_B)$

Alors, la distance AB est égale à :

$\blue\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}$

Distance entre un point et une droite.

Soit D la droite dont une équation s'écrit : $\blue {ax + by + c = 0}$ (avec a et b réels non tous les deux nuls en même temps)

Alors un vecteur normal à D est $\overrightarrow{n}$ (a,b).

On peut aussi déduire que l'un des vecteurs directeurs de D est $\overrightarrow{d}$ (-b,a).

Soit M un point quelconque du plan tel que : $\blue {M(x_0\;;y_0)}$

La distance la plus courte entre le point M et la droite D est la distance MH, avec H le projeté orthogonal de M sur (D). On a donc :

Alors la distance MH est égale à :

$\blue\boxed{MH=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Démonstration :

Les réels a et b n'étant pas nuls simultanément, supposons que b n'est pas nul.

Soit A un point de la droite tel que : $A(0,-\frac{c}{b})$

le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est tel que $\overrightarrow{AM}(x_0,y_0+\frac{c}{b})$

On a alors :

$\overrightarrow{HM}=k\times\overrightarrow{n}\\\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}$

et donc :

$|\overrightarrow{HM}.\overrightarrow{n}|=|HM.||\overrightarrow{n}|||=HM\times\sqrt{a^2+b^2}\\|\overrightarrow{HM}.\overrightarrow{n}| = |(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}).\overrightarrow{n}| = |\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}|= |ax_0+by_0+c|$

1^er Exemple d'application

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, soit A le point de coordonnées (1;2).

et (D) la droite d'équation $-2x+3y-7=0$

Déterminer la distance du point A à la droite D.

$d(A,D)=\dfrac{|-2\times 1+3\times 2-7|}{\sqrt{(-2)^2+3^2}}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{13}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ (unité de longueur)

Calculer distances dans le plan : image 1

2^nd exemple d'application

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, soit B le point de coordonnées (2,6) et F(3,5). Ces points appartiennent-ils à la droite $\Delta$ d'équation $y= 2x+2$ .
Dans chacun des cas déterminer la distance du point à la droite $\Delta$ .

Le point B appartient-il à $\Delta$ ?

$2\times 2+2=6$ donc les coordonnées de B vérifient l'équation de $\Delta$
On en déduit que : $B\in \Delta$ et donc que : $d(B,\Delta)=0$

Le point F appartient-il à $\Delta$ ?

$2\times 3+2=7\neq 5$ donc les coordonnées de F ne vérifient pas l'équation de $\Delta$ .
Le point F n'appartient pas à $\Delta$ .

Transformons l'écriture de l'équation de $\Delta$ : $y=2x+2\Longleftrightarrow 2x-y+2=0$

$d(F,\Delta)=\dfrac{|2\times 3-5+2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ (unité de longueur)

Calculer distances dans le plan : image 2

Publié par malou le 13-01-2020

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