Fiche de mathématiques
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Exemple de résolution d'une équation irrationnelle

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Fiche relue en 2016.

Soit à résoudre dans R l'équation d'inconnue x
(E) : 2 + \sqrt{8 - x} = x

Isolons la racine carrée dans un membre : (E\,') : \sqrt{8 - x} = x-2
(E) et (E ') sont bien sûr équivalentes.

Quelques remarques :
1. Nous n'écrivons pas racine carrée de -3 car nous savons que cela n'a pas d'existence.
On n'a le droit d'écrire \sqrt{8 - x} que si x\le 8.
2. Nous allons résoudre cette équation (E ') par équivalence.
3. Le membre de gauche est une quantité positive, donc la quantité x-2 est positive, et il faudra faire attention en comparant les carrés à ne pas faire intervenir de solutions "parasites"
4. Les deux membres étant des valeurs positives, on peut élever au carré.
Dans l'équation initiale, x doit être inférieur à 8 , et en élevant au carré on n'a aucun risque de trouver une solution qui rende 8-x stritement négatif puisque le second membre est un carré.

\sqrt{8 - x} = x-2 équivaut à dire \left\lbrace\begin{array}l 8-x=(x-2)^2\\ x-2\ge 0 \end{array}

Quelques remarques sur le système obtenu :
La quantité 8-x étant égale à un carré (dans le membre de droite) est bien toujours positive
Mais si nous n'écrivions que la première ligne de ce système, nous perdrions le fait que la quantité x-2 est également positive (puisque égale à une racine carrée dans l'énoncé) et doit donc le rester.
Il est donc obligatoire d'adjoindre le fait que x-2 doit rester positif.

Résolvons maintenant le système auquel nous avions abouti :

\left\lbrace\begin{array}l 8-x=(x-2)^2\\ x-2\ge 0 \end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 8-x=x^2-4x+4\\ x-2\ge 0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx^2-3x-4=0\\ x-2\ge 0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=-1\text{ ou } x=4\\ x\ge 2 \end{array}
Or : -1 < 2 \text{ et } 4 \ge 2
Conclusion : l'équation proposée admet dans R une unique solution qui est le réel 4.

Dans le cas général :
\text{ Si }\sqrt{a}=b \text{ alors }a=b^2 \text{ et } b\geqslant0
\large $\text{ Réciproquement si }$a=b^2$ et $b\geqslant0 $ alors $\sqrt{a}=\sqrt{b^2}$ et $b\geqslant0 $ alors $\sqrt{a}=|b|$ et $b\geqslant0 $ alors $\sqrt{a}=b$
Conclusion :
\boxed{\sqrt{a}=b \Longleftrightarrow a=b^2 \text{ et } b\geqslant0}

Et si on avait une inéquation irrationnelle :

\sqrt{a}\leqslant b\iff(a\leqslant b^2$ et $a\geqslant0$ et $b\geqslant0)

\sqrt{a}\geqslant b\iff(a\geqslant b^2$ et $b\geqslant0)$ ou ($a\geqslant0$ et $b<0)
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