Factorisations de polynômes

I. est racine de P

Si P est de la forme P(x) = c, alors P est un polynôme de degré 0.
Si P est de la forme P(x) = bx + c, alors P est un polynôme de degré 1.
Si P est de la forme P(x) = ax² + bx +c, alors P est un polynôme de degré 2.

Dans une fonction polynôme, il ne peut jamais y avoir de x ou 1/x ou 1/x² ou 1/(x - 3)...

est dit racine de P si P() = 0
Exemple :
P(x) = 3 + x
-3 est racine de P car P(-3) = 0


Théorème :
Si est racine de P, alors on peut factoriser P par (x - ).
Réciproquement si on peut factoriser P par (x - ), alors est racine de P.


Exemple :
Q(x) = x² + 3x - 10
0 = Q(2) = 2² + 6 - 10
En soustrayant ces deux lignes, on obtient :
Q(x) = Q(x) - Q(2) = (x² - 2²) + (3x - 6)
= (x + 2)(x - 2) + 3(x - 2)
= (x - 2)(x + 5)

II. Forme canonique

Rien de mieux que de comprendre à partir d'un exemple...
On a : 2x² + 4x - 1
On commence par factoriser par le nombre devant x²


x² + 2x est le début d'une identité remarquable de type (a + b)²
x² + 2x = (x + 1)² - 1
(x + 1)² - 1 = x² + 2 × x × 1 + 1² - 1 = x² + 2x
Donc :
Maintenant a² - b²
D'où :

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© Tom_Pascal & Océane 2006