Fiche de mathématiques

Factorisations de polynômes

I. $\alpha$ est racine de P

Si P est de la forme P(x) = c, alors P est un polynôme de degré 0.
Si P est de la forme P(x) = bx + c, alors P est un polynôme de degré 1.
Si P est de la forme P(x) = ax² + bx +c, alors P est un polynôme de degré 2.

Dans une fonction polynôme, il ne peut jamais y avoir de $\sqrt{x}$ ou $\dfrac{1}{x}$ ou $\dfrac{1}{x^2}$ ou $\dfrac{1}{x - 3}$ ...

$\alpha$ est dit racine de P si P( $\alpha$ ) = 0

Exemple :
P(x) = 3 + x
-3 est racine de P car P(-3) = 0

Théorème :

Si $\alpha$ est racine de P, alors on peut factoriser P par (x - $\alpha$ ).
Réciproquement si on peut factoriser P par (x - $\alpha$ ), alors $\alpha$ est racine de P.

Exemple :
Q(x) = x² + 3x - 10
0 = Q(2) = 2² + 6 - 10
En soustrayant ces deux lignes, on obtient :
Q(x) = Q(x) - Q(2) = (x² - 2²) + (3x - 6)
= (x + 2)(x - 2) + 3(x - 2)
= (x - 2)(x + 5)

II. Forme canonique

Rien de mieux que de comprendre à partir d'un exemple...
On a : $2x^2 + 4x - 1$
On commence par factoriser par le nombre devant $x^2$
$2 \left(x^2 + 2x - \frac{1}{2}\right)$
$= 2 \left((x^2 + 2x) - \frac{1}{2}\right)$
$x^2 + 2x$ est le début d'une identité remarquable de type (a + b)²
$x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$
$(x + 1)^2 - 1 = x^2 + 2 × x × 1 + 1^2 - 1 = x^2 + 2x$
Donc : $2 \left((x^2 + 2x) - \dfrac{1}{2}\right) = 2 \left((x + 1)^2 - 1 - \dfrac{1}{2}\right) = 2 \left((x + 1)^2 - \dfrac{3}{2}\right)$
Maintenant a² - b²
D'où : $2x^2 + 4x - 1 = 2 \left(x + 1 - \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\left(x + 1 + \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)$

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