Fiche de mathématiques

fonctions

Fonctions bornées

Dans chacun des exercices 1 à 6, f désigne une fonction définie sur l'intervalle I.
Montrer que f est bornée sur I.

exercice 1

I = [-3; 2] et f(x) = |x - 3|

exercice 2

I = [-4; 1] et f(x) = x²

exercice 3

I = [-2; 2] et f(x) = x² - 1

exercice 4

I = [-1; 2] et f(x) = |2 - x²|

exercice 5

I = [-1; 3] et f(x) = x² - 2x

exercice 6

I = [0; 3] et $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$

exercice 7

On considère les fonctions $f$ et $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définies par : $f(x) = 3x -5 \text{ et } g(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1}$ .

1. a) Montrer que pour tout nombre réel $x$ , $g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$
b) Montrer que pour tout nombre réel $x$ , $g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2 + 1}$
c) En déduire que pour tout nombre réel $x$ , $1 \leq g(x) \leq 2$ .

2. La fonction $f$ est elle bornée sur $\mathbb{R}$ ?

3. Démontrer que la fonction $g \circ f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

4. Démontrer que la fonction $f \circ g$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et que pour tout nombre réel $x$ , $-2 \leq (f \circ g)(x) < 1$ .

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