Fiche de mathématiques

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Géométrie analytique

I. Repères

1. Repère cartésien

Un repère cartésien est formé d'un point appelé origine et de deux vecteurs non colinéaires.
On le note $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

Géométrie analytique : formules - première : image 2

Si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont colinéaires, $(O;\vec{i},\vec{j})$ ne sera que le repère d'un axe, on le note : $(O;\vec{i})$ (ou $(O;\vec{j})$ ).

Géométrie analytique : formules - première : image 3

Remarque :
Dans un repère cartésien, les vecteurs ne sont pas obligatoirement orthogonaux et de même norme.

2. Repère orthogonal

Un repère est orthogonal s'il a ses deux vecteurs orthogonaux.
(ce qui signifie que les droites qui les supportent sont perpendiculaires) (mais pas forcément de même norme).

3. Repère orthonormal

Un repère est orthonormal (ou orthonormé) si ses vecteurs sont orthogonaux et de même norme.

Géométrie analytique : formules - première : image 1

II. Coordonnées dans un repère quelconque

1. Coordonnées d'un point

Un point M a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ si et seulement si $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$

À savoir

Donner les coordonnées de M dans le repère $({\red{A}};{\blue{\overrightarrow{AB}}},{\magenta{\overrightarrow{AC}}})$ , c'est donc déterminer $x \text{ et }y$ réels tels que $\overrightarrow{{\red{A}}M}=x{\blue{\overrightarrow{AB}}}+y{\magenta{\overrightarrow{AC}}}$

On dit alors que $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère $({\red{A}};{\blue{\overrightarrow{AB}}},{\magenta{\overrightarrow{AC}}})$

2. Coordonnées d'un vecteur

Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(a;b)$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ signifie que $\vec{u} = a\vec{i}+b\vec{j}$
(une base est composée de deux vecteurs non colinéaires)

A partir d'ici, toutes les coordonnées sont données dans un même repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A)$

3. Coordonnées du milieu

Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , alors le point I milieu de [AB] a pour coordonnées $\left( \dfrac{x_A+x_B}{2}\ ; \ \dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$

4. Coordonnées de la somme de deux vecteurs

Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ alors $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y')$

5. Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel

Si $\vec{u}(x;y)$ et si $k$ est un nombre réel, alors $k\vec{u}(kx;ky)$

6. Condition de colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si il existe $k$ réel tel que $\vec{u}=k\vec{v}$ ou $\vec{v}=k\vec{u}$ .
Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y = 0$

III. Quelques résultats dans un repère orthonormal

Si $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ , la norme de ce vecteur c'est à dire sa longueur est $\| \vec{u} \| = \sqrt{x^2+y^2}$
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , alors $AB = \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Condition d'orthogonalité :

Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy' = 0$

IV. Repérage en coordonnées polaires

Soit $M$ un point de coordonnées $(x;y)$ dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$
On appelle $r = \sqrt{x^2+y^2}$ et $\alpha$ une mesure de l'angle $(\vec{i},\overrightarrow{OM})$
On dit que $[r,\alpha]$ sont des coordonnées polaires de M dans le repère $(O,\vec{i})$
On a donc $r = \sqrt{x^2+y^2}$
$\cos \alpha = \dfrac{x}{r} \\ \sin \alpha = \dfrac{y}{r}$
et donc aussi $x = r \cos \alpha$ et $y = r \sin \alpha$

Publié par smil le 04-06-2021

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