Conservation de l'alignement :
Soient
la rotation de centre
et d'angle
et
,
et
trois points alignés.
Si
,
et
sont les images respectives de
,
et
par
alors ils sont alignés.
On dit qu'une rotation conserve l'alignement.
Démonstration :
La propriété est trivialement vraie si deux ou trois des points
,
et
sont confondus.
On suppose maintenant que
,
et
sont distincts.
D'abord, on peut commencer par noter que puisque
,
et
sont alignés, on a
ou
.
De plus, en utilisant la propriété caractéristique on peut établir d'une part que
et d'autre part que
.
Par suite, en utilisant la relation de Chasles, on obtient que
, c'est à dire que
.
Donc, en fait,
ou
, ce qui démontrent bien, finalement, que
,
et
sont alignés.