Fiche de mathématiques

Activités numériques

exercice 1

$x$ désignant un nombre réel quelconque, on donne : $\phi(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $-1 \leq \phi(x) \leq 1$ .

exercice 2

$x$ est un réel de l'intervalle [-2 ; + $\infty$ [, on donne : $f(x) = \sqrt{1 + x + x^2}$ et $g(x) = 1 +\frac{x}{2}$ .
Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [-2 ; + $\infty$ [, $g(x) \leq f(x)$ .

exercice 3

n désignant un nombre entier naturel non nul, on donne : $f(n) = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2n}$ et $g(n)= \frac{n + 1}{n + 2}$ .
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, $f(n) < g(n)$ .

exercice 4

$x$ étant un nombre réel de l'intervalle [3 ; 5]. On donne : $\phi(x) = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ .
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], $\frac14 \leq \phi(x) \leq \frac56$ .

fonctions

Comment comparer deux nombres ?

Première méthode

Pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste :

à calculer la différence de ces deux nombres,

puis à étudier le signe de cette différence.

Deuxième méthode

Pour comparer deux nombres a et b de même signe, avec, par exemple, des radicaux, une autre méthode consiste à comparer leurs carrés. (attention au signe de a et b )

Troisième méthode

Pour comparer deux nombres a et b strictement positifs, une troisième méthode consiste à calculer le quotient $\frac{a}{b}$ , puis comparer ce quotient à 1.

Quatrième méthode

Pour comparer deux nombres a et b, une quatrième méthode consiste à utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle f.

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Merci à Joelz pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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