exercice 1

désignant un nombre réel quelconque, on donne :
Démontrer que, pour tout réel

,
 \leq 1)
.
exercice 2

est un réel de l'intervalle [-2 ; +

[, on donne :
 = \sqrt{1 + x + x^2})
et
 = 1 +\frac{x}{2})
.
Démontrer que, pour tout réel

de l'intervalle [-2 ; +

[,
 \leq f(x))
.
exercice 3
n désignant un nombre entier naturel non nul, on donne :
 = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2n})
et
= \frac{n + 1}{n + 2})
.
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul,
 < g(n))
.
exercice 4

étant un nombre réel de l'intervalle [3 ; 5]. On donne :
 = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})
.
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5],
 \leq \frac56)
.
Première méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste :

à calculer la différence de ces deux nombres,

puis à étudier le signe de cette différence.
Deuxième méthode
Pour comparer deux nombres a et b de même signe, avec, par exemple, des radicaux, une autre méthode consiste à comparer leurs carrés. (
attention au signe de a et b )
Troisième méthode
Pour comparer deux nombres a et b strictement positifs, une troisième méthode consiste à calculer le quotient

, puis comparer ce quotient à 1.
Quatrième méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une quatrième méthode consiste à utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle f.