Réflexions et mesures d'angles de vecteurs

Complétons à l'aide des angles orientés de vecteurs, la relation déjà rencontrée entre les angles au centre et les angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle.

remarque : dans cette fiche, tous les vecteurs apparaissent en gras.

Exercice 1

Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C' le symétrique de C par rapport à (AB).
Comparons les mesures des angles (CA,CB) et (C'A,C'B).
1. Exprimer (CA,CB) à l'aide des angles (AB,AC) et (BA,BC).
2. Comparer (AB,AC) et (AB,AC') d'une part et (BA,BC) et (BA,BC') d'autre part.
3. Comparer alors (C'A,C'B) et (CA,CB).

Exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle, AB = AC.
1. Comparer (BC,BA) et (CB,CA).
2. Démontrer à l'aide de l'égalité : (BA,BC) + (CB,CA) + (AC,AB) =

les égalités : (BA,AC) = (BA,BC) + (CB,CA) et (BA,AC) = 2 (BA,BC).
[Sur la figure, (AD,AC) = 2 (BA,BC)]

Exercice 3

Soit A,B,C trois points d'un cercle ( gammamaj

) de centre O et D le point diamétralement opposé à A sur ( gammamaj

).
1. Démontrer que (OB,OD) = 2 (AB,AO),
2. Démontrer que (OB,OC) = 2 (AB,AC).
Cette dernière relation généralise une propriété utilisée au collège : l'angle au centre est double de l'angle inscrit interceptant le même arc de cercle.