Complétons à l'aide des angles orientés de vecteurs, la relation déjà rencontrée entre les angles au centre et les angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle.
remarque : dans cette fiche, tous les vecteurs apparaissent en gras.
exercice 1
Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C' le symétrique de C par rapport à (AB).
Comparons les mesures des angles (
CA,
CB) et (
C'A,
C'B).
1. Exprimer (
CA,
CB) à l'aide des angles (
AB,
AC) et (
BA,
BC).
2. Comparer (
AB,
AC) et (
AB,
AC') d'une part et (
BA,
BC) et (
BA,
BC') d'autre part.
3.Comparer alors (
C'A,
C'B) et (
CA,
CB).
exercice 2
Soit ABC un triangle isocèle, AB = AC.
1. Comparer (
BC,
BA) et (
CB,
CA).
2. Démontrer à l'aide de l'égalité : (
BA,
BC) + (
CB,
CA) + (
AC,
AB) =
les égalités : (
BA,
AC) = (
BA,
BC) + (
CB,
CA) et
(
BA,
AC) = 2 (
BA,
BC).
[Sur la figure, (
AD,
AC) = 2 (
BA,
BC)]
exercice 3
Soit A,B,C trois points d'un cercle (

) de centre O et D le point diamétralement opposé à A sur (

).
1. Démontrer que (
OB,
OD) = 2 (
AB,
AO),
2. Démontrer que (
OB,
OC) = 2 (
AB,
AC).
Cette dernière relation généralise une propriété utilisée au collège : l'angle au centre est double de l'angle inscrit interceptant le même arc de cercle.
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