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Fiche de mathématiques




Complétons à l'aide des angles orientés de vecteurs, la relation déjà rencontrée entre les angles au centre et les angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle.

exercice 1

Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C' le symétrique de C par rapport à (AB).
Comparons les mesures des angles (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}) et (\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}}).

1. Exprimer (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}) à l'aide des angles (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}) et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}).

2. Comparer (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}) et (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC'}}) d'une part et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC'}}) d'autre part.

3.Comparer alors (\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}}) et (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}).
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 1





exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle, AB = AC.

1. Comparer (\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{BA}}) et (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}).

2. Démontrer à l'aide de l'égalité : (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}) + (\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AB}}) = \pi
les égalités : (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{AC}}) = (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}})     et     (\overrightarrow{\text{BA}} ,\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}).
[Sur la figure, (\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})]
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 2





exercice 3

Soit A,B,C trois points d'un cercle (\Gamma) de centre O et D le point diamétralement opposé à A sur (\Gamma).

1. Démontrer que (\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OD}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AO}}).

2. Démontrer que (\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}).
Cette dernière relation généralise une propriété utilisée au collège : l'angle au centre est double de l'angle inscrit interceptant le même arc de cercle.
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 3







Merci à luc14 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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