Fiche de mathématiques

Réflexions et mesures d'angles de vecteurs

Complétons à l'aide des angles orientés de vecteurs, la relation déjà rencontrée entre les angles au centre et les angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle.

exercice 1

Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C' le symétrique de C par rapport à (AB).
Comparons les mesures des angles $(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})$ et $(\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}})$ .

1. Exprimer $(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})$ à l'aide des angles $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$ et $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})$ .

2. Comparer $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$ et $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC'}})$ d'une part et $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})$ et $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC'}})$ d'autre part.

3.Comparer alors $(\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}})$ et $(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})$ . TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 1

TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 1

exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle, AB = AC.

1. Comparer $(\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{BA}})$ et $(\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}})$ .

2. Démontrer à l'aide de l'égalité : $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}) + (\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AB}}) = \pi$
les égalités : $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{AC}}) = (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}})$ et $(\overrightarrow{\text{BA}} ,\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})$ .
[Sur la figure, $(\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})]$ TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 2

TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 2

exercice 3

Soit A,B,C trois points d'un cercle $(\Gamma)$ de centre O et D le point diamétralement opposé à A sur $(\Gamma)$ .

1. Démontrer que $(\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OD}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AO}})$ .

2. Démontrer que $(\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$ .
Cette dernière relation généralise une propriété utilisée au collège : l'angle au centre est double de l'angle inscrit interceptant le même arc de cercle. TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 3