L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

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Les Dérivées

 Exercice 1

Trouver la (ou les) réponse(s) exacte(s) :
Le plan est muni d'un repère (O,, ); C_f désigne la courbe représentative de la fonction f dans ce repère : f la fonction définie par f (x) = x³ - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal .
1. Une équation de la droite passant par A(1 ; 2) et de coefficient directeur -3 est :
   a) y = -3 x + 5
   b) 6x + 2y - 10 = 0
   c) y = 2x - 3
2. Soit f(x) = x³ - x, et A et B les points de C_f d'abscisses respectives 1 et 2. La pente de (AB) est :
   a) 5
   b) 1
   c) 6
3. Le point M appartient à (AB)
   a) M(0 ; -6)
   b) M(-2 ; -18)
   c) M(-1 ; 8)
4. Soit g(x) = x² + 1, C le point de C_g d'abscisses x2. La pente de (CM) est :
   a) x - 2
   b) x + 2
   c)
5. La limite de la pente de (CM) lorsque x tend vers 2 est :
   a) 0
   b) 4
   c) 1
6. La droite passant par C et de coefficient directeur 3 a pour équation :
   a) y = 3x - 1
   b) 6x - 2y + 6 = 0
   c) x - 3y + 2 = 0
7. La droite d'équation 2x - y + 7 = 0 a pour coefficient directeur :
   a) 2
   b)
   c) 7
8. La droite d'équation x + 3y - 1 = 0 a pour vecteur directeur :
   a) (3 ; 1)
   b) (-3; 1)
   c) (1; )
9. La droite d'équation 4x - 3y + 1 = 0 passe par :
   a) A(3 ; 4)
   b) B(-1 ; -1)
   c) C(2 ; 3)
10. La limite lorsque h tend vers 0 de est :
   a) 0
   b) +
   c)

 Exercice 2

Calculer les dérivées des fonctions suivantes en précisant à chaque fois l'ensemble de définition de la fonction et de sa dérivée.
f₁(x) = 2x³ - 4x² + 7
f₂(x) = (x⁷ + 2x)(x³ - 4x + 1)
f₃(x) = (x² - 2x + 3)⁸
f₄(x) =
f₅(x) =
f₆(x) =
f₇(x) =
f₈(x) =
f₉(x) = (x - 3)(x² + 1)( x - 1)

 Exercice 3

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes puis dresser leur tableau de variation :
1. f(x) = 6(x² - 1)
2. f(x) =
3. f(x) =
4. f(x) = 4x³ - 3x⁴

 Exercice 4

Déterminer les extrema des fonctions suivantes sur l'intervalle I en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
1. f(x) = -x² + 4x - 8 sur I = ;
2. f(x) = x² + sur I = ^*+ et sur I = ^*- ;
3. f(x) = 2x + 3 + sur I = ]2, +[.

 Exercice 5

Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x² - x - 2.
1. Calculer f'(x) puis dresser le tableau de variation de f. f possède-t-elle un maximum, un minimum ?
2. Déterminer le point A de la courbe représentative C_f de f (dans un repère orthonormal) en lequel la tangente à C_f a pour coefficient directeur -2.
3. Tracer C_f. On placera notamment les points d'intersection avec les axes et on tracera la tangente à C_f en A.

 Exercice 6

Soit f la fonction définie par f(x) = , et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. Déterminer les limites de f en -, +, -2 (à droite et à gauche). Que peut-on en déduire pour C ?
2. Calculer f'(x). En déduire les variations de f.
3. Déterminer les réels x tels que f'(x) = 1.
4. Tracer et les tangentes à C en les points d'abscisse x tels que f'(x) = 1.

 Exercice 7

Soit f la fonction définie par f(x) = et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x différent de 1, f(x) = ax + b + .
2. Utiliser cette écriture de f(x) pour calculer f'(x) et pour déterminer les limites de f en -, +, 1 (à droite et à gauche). Rassembler ces résultats dans un tableau de variation.
3. Que peut-on dire de la droite D d'équation y = 2x + 1 pour C ?
4. Tracer C et D.

 Exercice 8

Soit f la fonction définie par : f(x) = .
1. Calculer f'(x). Quel est son signe ?
2. Déterminer les limites de f en - et en +. Rassembler les résultats précédents dans un tableau.
3. Que représente la droite d'équation y = 1 pour la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal ?
4. Montrer que C est symétrique par rapport à Oy, puis tracer C.
5. Soit g(x) = . Etudier les variations de g, tracer sa courbe représentative C' sur la même figure que pour C.
6. Résoudre graphiquement l'équation : .

 Exercice 9

1. Soit f la fonction définie par f(x) = 3x⁴ - 5x² + 2x - 1. Calculer f'(x), f''(x), f'''(x), ..., f^(p)(x), où f^(p)(x) = (f^(p-1))'(x).
A partir de quel rang a-t-on f^(p)(x) = f^(p+1)(x) ? Quelle est la valeur commune ?
2. Généraliser le 1) à une fonction polynôme de f de degré n. (on pourra comparer les degrés de f et de f').

 Exercice 10

D'après la théorie de la relativité, l'énergie totale d'une particule de masse m animée de la vitesse v est :

Chercher la meilleure approximation affine de la fonction v E(v) lorsque v est très petite devant c. (On posera x = et on cherchera la meilleure approximation affine de la fonction x).
Les termes obtenus vous sont-ils familiers ?

 Exercice 11

Soit f une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Le but de cet exercice est d'étudier la dérivabilité sur I de la fonction g définie par :
g(x) = .
1. Soit x₀ un élément de I. Montrer que pour tout réel h0,

2. Déterminer la limite de quand h tend vers 0. Que peut-on en déduire pour la fonction g ?
3. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes sur l'intervalle I, et déterminer dans chaque cas la fonction dérivée :
     f₁(x) = sur I = .
     f₂(x) = sur I = ]1, +[.

 Exercice 12

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,, ), D₁ et D₂ sont les droites sécantes formant un angle , 0 < < , représentées sur la figure ci-dessous.
Deux mobiles M₁ et M₂ se déplacent respectivement sur D₁ et D₂, animés chacun d'un mouvement rectiligne uniforme.
Les vecteurs vitesse de M₁ et M₂ sont notés et .
On suppose que M₁ et M₂ ont même vitesse, c'est-à-dire : = v et le sens des vecteurs vitesse est celui indiqué sur la figure. A l'instant t = 0, les coordonnées de M₁ sont (0, 0) et celles de M₂ sont (-a cos , a sin ).

1. Quelles sont les équations des mouvements de M₁ et M₂ ? (On exprimera les coordonnées de M₁ et M₂ en fonction du temps t).
2. A quel instant la distance d(M₁, M₂) est-elle minimale ?

 Exercice 13

Un skieur de randonnée gravit une montagne dont la pente est supposée régulière. Il fait des virages réguliers pour aller du point de départ A au sommet B distant de 1 000 mètres à vol d'oiseau. L'inclinaison de ses virages est p = où x et y sont les distances indiquées sur la figure. Une règle empirique fait apparaître que la vitesse du skieur est inversement proportionnelle à (p + ).
Quelle est la valeur de p qui permet de gravir la montagne en un temps minimal ?

 Exercice 14

Quatre maisons sont aux sommets d'un carré de côté c = 2 km. On veut construire des chemins entre ces maisons de façon que la longueur totale de ces chemins soit la plus courte possible (pour une question de coût). On décide de construire les chemins comme sur la figure ci-dessous.

1. Comment choisir x de façon que la longueur totale soit la plus courte possible ? (On sera amené à calculer la dérivée de la fonction x).
Quelle est alors cette longueur totale ?
2. Quelle est la mesure des angles

 Exercice 15

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,, ). D est la droite d'équation 4x + 3y = 14 et A le point de coordonnées (-2, -1). On veut calculer la distance de A à la droite D.
1. Montrer qu'un point M(x, y) appartient à D si et seulement si il existe un réel t tel que :

On note M(t) le point de D correspondant.
2. Calculer la distance de A à D en étudiant la fonction t (d(A , M(t)))².

 Exercice 16

Résoudre graphiquement le système d'équations :

(On étudiera et représentera deux fonctions).

 Exercice 17

Soit f la fonction définie par : f(x) = .
1. Etudier la fonction f et tracer sa courbe représentative C. Donner une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
2. Soit g la fonction définie de ]-2, 2[ dans par g(x) = f(x). Montrer que g est une bijection et préciser le sens de variation de g^-1.
Tracer la courbe représentative de g^-1 sur la figure précédente.

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