Problèmes sur les dérivées

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, vecti

).
(C₁), (C₂) et (C₃) désignent respectivement les courbes représentatives des fonctions f, g et h définies par :

1. Etablir les tableaux de variations de f, g et h.
2. Montrer que le point A(1; 2) est commun aux trois courbes (C₁), (C₂) et (C₃) et que ces trois courbes admettent en A la même tangente (T).
3. Ecrire une équation de (T) et étudier la position de chacune des courbes par rapport à (T).
4. Tracer (T), (C₁), (C₂) et (C₃).
5. Chacune des courbes (C₁), (C₂) et (C₃) admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation

? Si oui, préciser en quel point et écrire leur équation.

Exercice 2

On se propose d'étudier la fonction numérique f dont on donne ci-dessous le tableau de variation :

1. Préciser les ensembles de définition de f et de f'.
2. Quelles sont les limites de f aux bornes des intervalles de son ensemble de définition ? Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative (C) de f.
3. Ecrire les équations des tangentes à (C) que le tableau de variation permet de connaître.
4. Préciser les extrema de f.
5. Ebaucher la courbe (C) dans un repère (0, vecti

).
6. Indiquer le nombre de solutions de l'équation : f(x) = 0 .
7. Trouver un réel m tel que l'équation : f(x) = m n'admette qu'une seule solution.

Exercice 3

1. Etudier suivant les valeurs de x le signe de l'expression

2. f est la fonction définie sur

par :

.
Déterminer les 3 réels a,b et c tels que, pour tout réel x, on ait :

3. Calculer la dérivée de la fonction f ; vérifier que l'on a :

En déduire le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variation de f.
4. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, vecti

), on désigne par (D) la droite d'équation

et par (C) la courbe représentative de f. Etudier la position de (C) par rapport à (D).
Calculer

et interpréter graphiquement le résultat.
5. Construire (D) et (C)

Guides

GUIDE exercice 1

1. f,g, h sont des fonctions polynômes du second degré.
2. On vérifie que f(1) = g(1) = h(1) = 2 et que f'(1) = g'(1) = h'(1).
3. La position relative de 2 courbes d'équations y = k(x) et y = l(x) se fait en étudiant le signe de k(x) - l(x).
5. A quelle condition (portant sur les coefficients directeurs) deux droites sont elles parallèles ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point ?

GUIDE exercice 2

2. Si

alors la droite d'équation y = a est asymptote horizontale à (C).
Si

alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à (C).
6. Le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 est le nombre de points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.

F.A.Q.

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