Fiche de mathématiques
> >

Exercices étude de fonction et Dérivée

Partager :

exercice 1

Soit f la fonction définie par f (x) = \dfrac{1}{4}x3 - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i}, \vec{j}).

1. Étudier les variations de f.

2. On appelle A le point de (C) dont l'abscisse est 2.
    a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Écrire cette équation sous la forme y = t(x)).
    b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = \dfrac{1}{4}x(x - 2)².
    c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D).
    d) Dessiner (C) et (D).




exercice 2

Soient (C) et (C') les courbes d'équations respectives y = x3 - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.

1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C').

2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C') en chacun de leurs points communs.

3. Étudier les variations des fonctions : x \mapsto x3 - 2x + 3    et    x \mapsto 2x² - 3x + 3.

4. Dessiner (C) et (C') dans le repère (O, \vec{i},\vec{j}).




exercice 3

Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = \dfrac{\text{a}x^2+\text{b}x+\text{c}}{x-2} et (C) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes :
(C) passe par le point A(0 ; 5)
la tangente à (C) au point A est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente à (C) au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur -3.
Étudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.
Tracer (C).




exercice 4

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = \dfrac{-x^3+5x}{x^2+3} et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.

1. a) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x : f (x) = ax + \dfrac{bx}{x^2+3} .
    b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Soit f' la dérivée de f.
    a) Montrer que f'(x) = \dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2} .
    b) Étudier les variations de f.

3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à l'origine.

4. Soit D la droite d'équation y = - x.
    a) Étudier la position de C relativement à la droite D.
    b) Montrer que, pour tout x non nul : f (x) + x = \dfrac{8}{x\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}.
En déduire la limite de f (x) + x quand x tend vers +\infty. Que peut-on en conclure pour la courbe C ?

5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses).




exercice 5

Etude d'une fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x3 + 2x et C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal (O, \vec{i}, \vec{j}) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, \vec{i}) et 0,5 cm pour 1 sur (O, \vec{j})).

1. f est-elle impaire?

2. Étudier les variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

4. Déduire de l'étude du signe de l'expression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à la tangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].

5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées d'une dizaine de points à l'aide d'une calculatrice programmable.



exercice 1

1. Soit f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1 définie sur \mathbb{R}.
f est dérivable sur \mathbb{R}.
f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x
On étudie le signe de f' puis on en déduit les variations de f :
\dfrac{3}{4}x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{3}{4}x-2\right)=0
Donc S=\left\lbrace0;\dfrac{8}{3}\right\rbrace
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & 0 & & \frac{8}{3} & & +\infty \\ \hline \text{signe} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \text{variations} & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} & \croit & \\ \hline \end{tabvar}
Avec :
f(0)=1
f\left(\dfrac{8}{3}\right)=-\dfrac{37}{27}

2. Soit A(2;y) \in (C).
2. a) f est dérivable en 2 donc (D) existe bien.
a=2 f(a)=-1 f'(a)=-1
Ainsi, (D) a pour équation :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=-1(x-2)-1
y=-x+1
Donc t(x)=-x+1

2. b) Posons d(x)=f(x)-t(x)
d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1+x-1
d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x
d(x)=\dfrac{1}{4}x(x^2-4x+4)
d(x)=\dfrac{1}{4}x(x-2)^2

2. c) Position relative de (C) par rapport à (D).
Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions t(x) et f(x) soit, étudier le signe de d(x).
\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&0&&2&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&0&+&0&+&& \hline \end{tabular}
Ainsi,
sur ]-\infty;0[: f(x)-t(x)<0\Longleftrightarrow f(x)<t(x)
sur ]0;2[\cup]2;+\infty[: f(x)-t(x)>0\Longleftrightarrow f(x)>t(x)

2. d)
5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 8





exercice 2


Soit (C) courbe d'équation y=x^3-2x+3. Posons f(x)=x^3-2x+3 définie sur \mathbb{R}.
f est dérivable sur \mathbb{R} donc f'(x)=3x^2-2.
Soit (C') courbe d'équation y=2x^2-3x+3. Posons g(x)=2x^2-3x+3 définie sur \mathbb{R}.
g est dérivable sur \mathbb{R} donc g'(x)=4x-3.

1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C') revient à déterminer les solutions de l'équation :
x^3-2x+3=2x^2-3x+3
\Longleftrightarrow x^3-2x^2+x=0
\Longleftrightarrow x(x^2-2x+1)=0
\Longleftrightarrow x(x-1)^2=0
Ainsi, S=\left\lbrace0;1\right\rbrace et (C) et (C') ont deux points communs \alpha et \beta d'abscisse respective 0 et 1
Calcul de leur ordonnée :
g(0)=3
g(1)=2
Les points communs à (C) et (C') sont donc \alpha(0;3) et \beta(1;2).

2. Tangente à (C) en \alpha :
f est dérivable en 0 donc la tangente existe bien
a=0 ; f(a)=3 ; f'(a)=-2
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=-2x+3.
Tangente à (C') en \alpha :
g est dérivable en 0 donc la tangente existe bien.
a=0 ; f(a)=3 ; f'(a)=-3 [nl]y=-3x+3
Tangente à (C) en \beta:
f est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
a=1 ; f(a)=2 ; f'(a)=1
y=x+1
Tangente à (C') en \beta:
g est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
a=1 ; f(a)=2 ; f'(a)=1
y=x+1

3. Étude des variations de f :
Soit f(x)=x^3-2x+3 définie sur \mathbb{R}.
f est dérivable sur \mathbb{R}.
f'(x)=3x^2-2
On cherche les solutions de l'équation f'(x)=0:
\Longleftrightarrow 3x^2-2=0
\Longleftrightarrow 3x^2=2
\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{2}{3}
\Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}} ou x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&-\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&+&0&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}
Étude des variations de g :
Soit g(x)=2x^2-3x+3 définie sur \mathbb{R}.
g est dérivable sur \mathbb{R}.
g'(x)=4x-3
On cherche les solutions de l'équation g'(x)=0:
\Longleftrightarrow 4x-3=0
\Longleftrightarrow 4x=3
\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{4}
\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&3/4&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}
5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 9





exercice 3

Soit f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-2} définie sur \mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace.

C passe par le point A(0;5) :
\Longleftrightarrow f(0)=5
\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2+b0+c}{0-2}=5
\Longleftrightarrow \dfrac{c}{-2}=5
c=-10

La tangente à (C) au point A(0;5) est parallèle à l'axe des abscisses :
Posons u(x)=ax^2+bx+c et v(x)=x-2
u'(x)=2ax+b     v'(x)=1
D_u'=\mathbb{R}     D_v'=\mathbb{R}
f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace.
f'(x)=\dfrac{(2ax+b)(x-2)-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}=\dfrac{2ax^2-4ax+bx-2b-ax^2-bx-c}{(x-2)^2}
f'(x)=\dfrac{ax^2-4ax-2b-c}{(x-2)^2}
Donc,
f'(0)=0
\Longleftrightarrow \dfrac{a0^2-4a0-2b-c}{(x-2)^2}=0
\Longleftrightarrow \dfrac{-2b-c}{4}=0
\Longleftrightarrow \dfrac{-2b}{4}-\dfrac{10}{4}=0
\Longleftrightarrow b=5

La tangente à (C) au point B(1;y) a pour coefficient directeur -3 :
\Longleftrightarrow f'(1)=-3
\Longleftrightarrow \dfrac{a1^2-4a1-2(5)+10}{(x-2)^2}=-3
\Longleftrightarrow a=1
Ainsi, on a déterminé a, b et c pour que (C) réponde aux trois propriétés proposées. Il est possible de vérifier que l'on ne s'est pas trompé en affichant le graphique à sur la calculatrice et en vérifiant les 3 propriétés graphiquement.
Soit f(x)=\dfrac{x^2+5x-10}{x-2} définie sur \mathbb{R}\backslash\lbrace2\rbrace
f est dérivable sur Df
f'(x)=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&0&&2&&4&&+\infty \\ \hline \text{signe}& &+&0&-&\|&-&0&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow&& \hline \end{tabular}
5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 10





exercice 4

1. a) Si f(x)=ax+\dfrac{bx}{x^2+3}
f(x)=\dfrac{ax(x^2+3)+bx}{x^2+3}
f(x)=\dfrac{ax^3+3ax+bx}{x^2+3}
Par identification :
a=-1
3a+b=5 \Longleftrightarrow -3+b=5 \Longleftrightarrow b=8
Donc f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3}

1. b) Soit f(x)=-x+\dfrac{8x}{x^2+3} et Df=\mathbb{R}
Df symétrique par rapport à 0
f(-x)=x-\dfrac{8x}{x^2+3}=-f(x)
Donc f est impaire et sa courbe représentative C est symétrique par rapport à l'origine du repère.

2. a) Soit f(x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3} et Df=\mathbb{R}
Posons
u(x)=-x^3+5x et v(x)=x^2+3
u'(x)=-3x^2+5 v'(x)=2x
D_u'=\mathbb{R} D_v'=\mathbb{R}
f est dérivable sur \mathbb{R}
f'(x)=\dfrac{(-3x^2+5)(x^2+3)-2x(-x^3+5x)}{(x^2+3)^2}
f'(x)=\dfrac{-3x^4-9x^2+5x^2+15+2x^4-10x^2}{(x^2+3)^2}
f'(x)=\dfrac{-x^4-14x^2+15}{(x^2+3)^2}
f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}

2. b) Soit f'(x)=\dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}
x^2+15>0
(x^2+3)^2>0
1-x^2=0 \Longleftrightarrow x=1;x=-1
\begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty \\ \hline \text{signe}& &-&0&+&0&-& \\ \hline \text{variation}&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&& \hline \end{tabular}

3. a=0;f(a)=0;f'(a)=\dfrac{5}{3}
y=f'(a)(x-a)-f(a)
y=\dfrac{5}{3}x

4. a) Soit D la droite d'équation y=-x
f(x)+x=\dfrac{8x}{x^2+3}
\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline \text{signe}&&-&\|&+&& \hline  \end{tabular}
sur ]-\infty;0[ : f(x)-(-x)<0 \Longleftrightarrow f(x)<-x
sur ]0;+\infty[ : f(x)-(-x)>0 \Longleftrightarrow f(x)>-x
Il suffit de faire la différence entre C et D puis étudier le signe de l'expression ainsi obtenue.
C est en dessous de D sur ]-\infty;0[
C est au dessus de D sur ]0;+\infty[

4. b) f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x}{x^2+3}+x
f(x)-(-x)=\dfrac{-x^3+5x+x^3+3x}{x^2+3}
f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2+3}
f(x)-(-x)=\dfrac{8x}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}
f(x)-(-x)=\dfrac{8}{x\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}
La limite de f(x)-(-x) est nulle
D'ou la droite d'equation y=-x est un asymptote de Cf

5.
5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 11





exercice 5

Soit f(x)=x^3+2x et Df=[-2;2]
1.
Df est symétrique par rapport à 0
f(-x)=-f(x)
Donc f est une fonction impaire.

2. f est dérivable sur [-2;2]
f'(x)=3x^2+2
\begin{tabular}{|c|ccc|} \hline x&-2&&2 \\ \hline \text{signe}&&+& \\ \hline \text{variation}&&\nearrow&& \hline \end{tabular}

3. Équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
a=0 ; f(a)=0 ; f'(a)=2
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=2x

4. f(x)-x=x^3
\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline x&-2&&0&&2 \\ \hline \text{signe}&&-&0&+&& \hline  \end{tabular}
sur]-2;0[ : f(x)-2x<0 \Longleftrightarrow f(x)<2x
sur]0;-2[ : f(x)-2x>0 \Longleftrightarrow f(x)>2x

5.
5 exercices d'études de fonction, dérivation - première : image 12
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à lolo947 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2016

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1183 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !