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Fiche de mathématiques





exercice 1

Soit f la fonction définie par f (x) = \dfrac{1}{4}x3 - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i}, \vec{j}).

1. Étudier les variations de f.

2. On appelle A le point de (C) dont l'abscisse est 2.
    a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Écrire cette équation sous la forme y = t(x)).
    b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = \dfrac{1}{4}x(x - 2)².
    c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D).
    d) Dessiner (C) et (D).




exercice 2

Soient (C) et (C') les courbes d'équations respectives y = x3 - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.

1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C').

2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C') en chacun de leurs points communs.

3. Étudier les variations des fonctions : x \mapsto x3 - 2x + 3    et    x \mapsto 2x² - 3x + 3.

4. Dessiner (C) et (C') dans le repère (O, \vec{i},\vec{j}).




exercice 3

Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = \dfrac{\text{a}x^2+\text{b}x+\text{c}}{x-2} et (C) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes :
*(C) passe par le point A(0 ; 5)
* la tangente à (C) au point A est parallèle à l'axe des abscisses ;
* la tangente à (C) au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur -3.
Étudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.
Tracer (C).




exercice 4

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = \dfrac{-x^3+5x}{x^2+3} et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.

1. a) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x : f (x) = ax + \dfrac{bx}{x^2+3} .
    b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Soit f' la dérivée de f.
    a) Montrer que f'(x) = \dfrac{(1-x^2)(x^2+15)}{(x^2+3)^2} .
    b) Étudier les variations de f.

3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à l'origine.

4. Soit D la droite d'équation y = - x.
    a) Étudier la position de C relativement à la droite D.
    b) Montrer que, pour tout x non nul : f (x) + x = \dfrac{8}{x\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}.
En déduire la limite de f (x) + x quand x tend vers +\infty. Que peut-on en conclure pour la courbe C ?

5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses).




exercice 5

Etude d'une fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x3 + 2x et C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal (O, \vec{i}, \vec{j}) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, \vec{i}) et 0,5 cm pour 1 sur (O, \vec{j})).

1. f est-elle impaire?

2. Étudier les variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

4. Déduire de l'étude du signe de l'expression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à la tangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].

5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées d'une dizaine de points à l'aide d'une calculatrice programmable.






Merci à lolo947 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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