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Les Dérivées

 Exercice 1

Soit f la fonction définie par f (x) = x³ - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,, ).
1. Etudier les variations de f.
2. On appelle A le point de (C) dont l'abscisse est 2.
   a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Ecrire cette équation sous la forme y = t(x)).
   b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = x(x - 2)².
   c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D).
   d) Dessiner (C) et (D).

 Exercice 2

Soient (C) et (C') les courbes d'équations respectives y = x³ - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.
1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C').
2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C') en chacun de leurs points communs.
3. Etudier les variations des fonctions : x x³ - 2x + 3    et    x 2x² - 3x + 3.
4. Dessiner (C) et (C') dans le repère (O, ,).

 Exercice 3

Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = et (C) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes :
(C) passe par le point A(0 ; 5)
la tangente à (C) au point A est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente à (C) au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur - 3.
Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.
Tracer (C).

 Exercice 4

On considère la fonction f définie sur par : f(x) = et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.
1.
a) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x : f (x) = ax + .
   b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. Soit f ' la dérivée de f.
   a) Montrer que f '(x) = .
   b) Etudier les variations de f.
3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à l'origine.
4. Soit D la droite d'équation y = - x.
   a) Etudier la position de C relativement à la droite D.
   b) Montrer que, pour tout x non nul : f (x) + x = .
En déduire la limite de f (x) + x quand x tend vers + . Que peut-on en conclure pour la courbe C ?
5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses).

 Exercice 5

Etude d'une fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x³ + 2x et C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal (O, , ) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, ) et 0,5 cm pour 1 sur (O, )).
1. f est-elle impaire?
2. Etudier les variations de f.
3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
4. Déduire de l'étude du signe de l'expression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à la tangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].
5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées d'une dizaine de points à l'aide d'une calculatrice programmable.

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