Fiche de mathématiques

Dérivation : Fiche Méthode

I. Recherche du nombre dérivé

Si $f$ est dérivable sur I, et si $x_0 \in$ I, on calcule $f'$ (à l'aide des formules du cours à savoir par cœur), puis $f'(x_0)$ .

Si les opérations sur les fonctions ne donnent pas l'existence de $f'(x_0)$ , on cherche la limite éventuelle de :
$p(h) = \dfrac{f(x_0)+h-f(x_0)}{h}$ , en simplifiant au maximum $p(h)$ (à l'aide de factorisations).

II. Tangente

Retenir que $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point M₀ d'abscisse $x_0$ .

Si $f'(x_0)=\dfrac{a}{b}$ , pour tracer la tangente en M₀ on porte a unités en hauteur et b unités horizontalement (dans le sens correspondant au signe de chacun); si M est le point obtenu, la tangente est la droite (M₀M).
Si $\displaystyle \lim_{h\to0}p(h)=+\infty$ (ou - $\infty$ ), $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ , mais C_f admet une demi-tangente verticale en M₀.

Placer les tangentes horizontales ( $f'(x_0)=0$ ), et les tangentes ou demi-tangentes particulières avant de tracer la courbe.

III. Utilisation de la dérivée

Justifier son existence (opérations sur les fonctions dérivables)

Exprimer $f'(x)$ en factorisant au maximum pour :
- connaître le signe de $f'$ , et ainsi le sens de variation de $f$ ;
- trouver les valeurs où $f'$ s'annule en changeant de signe, pour obtenir ainsi les extremums de $f$ .

Rassembler tous ces résultats dans un tableau de variation.

Celui-ci permet de déterminer si un extremum est un maximum ou un minimum.

Vérifier la cohérence entre :
- les limites obtenues et le sens de variation ;
- les résultats trouvés sur la copie et le graphe donné par une calculatrice graphique.

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