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Les Fonctions Polynômes : Exercices

 Exercice 1

Cocher la réponse exacte.
I. Comment s'écrivent ces expressions ?

	A	B	C
1. (2x - 1)² - 4(x - 2)²	2(x + 1)²	3(4x - 5)	4(x - 1)(x - 2)
2. 4(x - 1)² - (x - 3)²	(x + 1)(3x - 5)	(x + 1)(x - 7)	3(x + 2)

II. Quel ensemble de solutions admettent ces équations ?

	A	B	C
3. 5x² - 20x = 0	{3 ; 0}	{1 ; -2}	{0 ; 4}
4. 3x² + 27 = 0	{1}	{-3 ; 3}	Ø
5. 9(3x + 5)² - (x - 1)² = 0	{1 ; 3}		{-2 ; -1}
6. 4x² + 4x + 1 = 0		{1 ; 2}	Ø

III. Quel ensemble de solutions admettent ces inéquations ?

	A	B	C
7. 5x² - 20x 0	Ø	[0; 4]	]-; 2[
8. (2x - 1)² - 4(x - 2)²0	[1 ; 2]	]-;3[
9. 4(x - 1)² - (x - 3)² 0	Ø
10. x² + 1 2x		-{1}	]1; +[

 Exercice 2

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?
1. f: x 4x² + x + 1 ;
2. g: x ;
3. h: x .

 Exercice 3

Déterminer le degré et les coefficients des fonctions polynômes suivantes, après les avoir écrites sous forme réduite et ordonnée :
f₁: x (x - 1)² - 4(2x - 3)(x + 2)² + 3(x - 4)(x + 2)
f₂: x (2x - 1)³ - 2(2x + 3)(x - 4)² - 4(x - 1)²(x + 3)
f₃: x (2x³ + 2x - 1)(4x⁴ + 5x² + 3).

 Exercice 4

On donne les fonctions polynômes :

Exprimer f + g, f.g, 2f-3g, f² (= f . f ).

 Exercice 5

Un texte de devoir est mal écrit, et les coefficients en x³ et en x d'une fonction polynôme ont été effacés. On ne voit que p(x) = x⁴ + ...x³ - 2x² + ...x - 3.
La première question du problème est : vérifier que -1 et 3 sont racines de la fonction polynôme p.
Comment retrouver les coefficients effacés ?

 Exercice 6

Soit les fonctions polynômes :

Quels sont les réels a, b, c, d, e tels que p et q soient égales ?

 Exercice 7

Discriminant réduit
Soit l'équation ax² - 2b'x + c = 0 et soit ' = b'² - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de ' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de ', a et b'.

 Exercice 8

1. Soit p: x x³ - 3x² - 13x +15.
Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans l'équation p(x) = 0.
2. Soit p: x 4x³ - 8x² - 47x + 105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans de l'équation p(x)=0.
3. Même travail avec p: x x³ + 7x² + 12x + 10 et p(-5).
4. Soit p: x 9x⁴ - 12x³ - 83x² - 50x - 8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x) = 0.

 Exercice 9

Résoudre dans les équations :

Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?

 Exercice 10

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.

 Exercice 11

Résoudre dans les équations suivantes :
1. x⁴ - 2x² - 8 = 0 ;
2. 3x⁴ - 11x² + 6 = 0 ;
3. 2 x + 5 - 3 = 0 ;
4. .

 Exercice 12

Le nombre d'or est la solution positive de l'équation x² - x - 1 = 0 ; on le note .
1. Calculer .
2. Montrer que ² = 5 + 3 et .

 Exercice 13

Résoudre dans les inéquations suivantes :
1. 2x² + 7x - 4 0 ;
2. x² - 15x + 50 < 0 ;
3. 3x² + 20x + 50 > 0 ;
4.

 Exercice 14

Résoudre dans le système :
En déduire les solutions du système :

 Exercice 15

La somme des âges de deux amis est 53 ans. Dans cinq ans, le produit de leurs âges sera 990.
Quels sont leurs âges ?

 Exercice 16

Quelles sont les dimensions d'une boîte parallélépipédique à base carrée dont le volume est V = 1 875 cm³ et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm². (On se ramènera à une équation du troisième degré dont on cherchera une racine évidente.)

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