Fonctions Polynômes : Cours

I. Fonctions polynômes

1. Définitions

Une fonction polynôme est une fonction P : définie par une expression du type :
P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀
Les nombres a₀,...,a_n sont appelés les coefficients de P.
Si a_n 0, n est appelé le degré de P.

2. Opérations sur les degrés

Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles. Alors :
deg (PQ) = deg P + deg Q
et deg (P + Q) sup(deg P, deg Q)

Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.

3. Egalité de deux fonctions polynômes

Soit P et Q deux fonctions polynômes
Théorème 1
P = Q signifie que :
deg P = deg Q et
les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux

Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls.

4. Racine d'une fonction polynôme

Soit P une fonction polynôme de degré n, n 1.

Définition :
Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0.
Déterminer les racines de P, c'est résoudre l'équation P(x) = 0.

Théorème 2 :
a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x).

Remarques :
on a alors deg Q = n - 1 ;
ce théorème permet de réduire le degré d'une équation.

5. Une formule utile

Quels que soient les réels x et a, xⁿ - aⁿ = (x - a)(x^n-1 + ax^n-2 + ... + a^kx^n-k-1 + ... + a^n-2x + a^n-1).

II. Trinôme du second degré

1. Définitions

Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme :
P(x) = ax² + bx + c avec a 0.

Résoudre l'équation du second degré P(x) = 0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P.

2. Méthode générale

Définition :
On appelle discriminant de P le réel = b² - 4ac.

Théorème 3 :
Si < 0, S = Ø
Si = 0, S =
Si > 0, S =

3. Somme et produit des racines

Théorème 4 :
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a 0, admet deux racines x₁ et x₂ alors :
x₁ + x₂ = et x₁ x₂ = .

Remarque : ces formules restent valables si les racines sont confondues.

Théorème 5 : Les solutions du système sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'équation du second degré x² - Sx + P = 0.

Remarque : quand on connaît une solution (u, v) du système on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v, u).

4. Factorisation du trinôme

Théorème 6 :
Si le trinôme P(x) admet deux racines x₁ et x₂ (éventuellement confondues), alors pour tout réel x,
P(x) = a(x - x₁)(x - x₂).

5. Signe du trinôme

Théorème 7 :
Si < 0, P(x) a le signe de a pour tout x.
Si = 0, P(x) a le signe de a pour tout x .
Si > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.

Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes.

6. Second degré et paraboles

De nombreux résultats de ce chapitre se traduisent graphiquement à l'aide de la parabole P d'équation : y = ax² + bx + c, a 0.

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© Tom_Pascal & Océane 2006