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Fiche de mathématiques

   
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Les Fonctions Polynômes : Fiche Méthode


I. Fonction polynôme

* Ne pas oublier qu'une fonction polynôme est définie sur \mathbb{R} et que les puissances de x sont des entiers naturels.


II. Equation de degré supérieur ou égal à 3

Chercher une ou plusieurs racines :
* en programmant une calculatrice,
* souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2,
* dont 0 si le coefficient constant est nul, puis utiliser le théorème suivant :
         a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x,
         P(x) = (x - a) Q(x).
une ou plusieurs fois pour factoriser et se ramener à une équation de degré 2.



III. Equation de degré 2

* Vérifier d'abord s'il s'agit ou non d'une identité remarquable.
* S'il y a une racine simple (souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2), utiliser le théorème suivant pour obtenir l'autre racine :
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a \neq 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 = -\dfrac{\text{b}}{\text{a}} et x1 x2 = \dfrac{\text{c}}{\text{a}}

* Sinon utiliser les formules du théorème suivant :
    - Si \Delta < 0, S = \emptyset
    - Si \Delta = 0, S = \left\lbrace-\dfrac{\text{b}}{\text{2a}}\right\rbrace
    - Si \Delta > 0, S = \left\lbrace\dfrac{-\text{b}-\sqrt{\Delta}}{\text{2a}} ; \dfrac{-\text{b}+\sqrt{\Delta}}{\text{2a}}\right\rbrace

qui ne sont valables que pour une équation du second degré et qui doivent être connues par cœur !
* Retenir qu'un polynôme de degré 2 a au plus deux racines.
* Dans un problème concret, vérifier la cohérence des résultats.


IV. Inéquation

* Commencer par factoriser au maximum en utilisant les méthodes du II. et du III., puis utiliser la règle des signes avec un tableau.
* Ne pas oublier le facteur a dans a(x - x1)(x - x2).
* Vérifier les résultats en prenant des valeurs particulières et en déterminant le signe du polynôme pour ces valeurs.



   

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