P est un polynôme de degré supérieur ou égal à deux dont est une racine double, donc il existe un polynôme Q de degré supérieur ou égal à 0 tel que : .
Dérivons le polynôme P :
Et on a bien : On en conclut que est aussi une racine de P'.
exercice 2
Soient a et b deux réels tels que a < b. On a :
Or, f est décroissante sur , donc pour tous réels a et b tels que a < b, f(a) > f(b).
La fonction g est aussi décrossante sur , donc pour tous réels f(a) et f(b) tels que f(a) > f(b), D'où : a < b entraîne : la fonction est donc croissante sur .
Publié par Tom_Pascal
le
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est une racine double.
. Elles sont toutes deux décroissantes sur 
?
 = Q(x)(x - \beta)^2)
.
 = Q'(x)(x - \beta)^2 + 2Q(x)(x - \beta)\\ P'(x) = (x - \beta)(Q'(x)(x - \beta) + 2Q(x)))
 = (\beta - \beta)(Q'(\beta)(\beta - \beta) + 2Q(\beta)) = 0)
(a) - (g \circ f)(b) = g\left(f(a)\right) - g\left(f(b)\right))
(a) - (g \circ f)(b) < 0)
)
est donc croissante sur 
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