4 exercices pour me tester

exercice 1

Déterminer la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure est $-\frac{65\pi}{3}$ .

exercice 2

Soit $x$ un réel. Ecrire le plus simplement possible le nombre :
$N=cos (2\pi-x) +cos (\pi+x) +sin (3\pi) +sin (\pi-x) +cos(\frac{\pi}{2}+x)$

exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $cos (x) =-\frac{1}{2}$

exercice 4

Sur la figure suivante ABCD est un carré et ABO est un triangle équilatéral. Déterminer une mesure de $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{AD}) \text{ et de } (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DC})$ .

Exercice sur les angles orientés : image 1

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exercice 1

$2\pi=\frac{6\pi}{3}$ donc $\frac{-65\pi}{3}=-\frac{66\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=11\times \frac{6\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+11\times 2\pi \text{ et } \frac{\pi}{3} \in ]-\pi;\pi]$
La mesure principale de $-\frac{65\pi}{3} \text{ est } \frac{\pi}{3}$ .

exercice 2

On a donc :
$N =cos (2\pi-x) +cos (\pi+x) +sin (3\pi) +sin (\pi-x) +cos(\frac{\pi}{2}+x) \\ =cos (-x) -cos (x) +0+sin (x) -sin(x) =cos (x) -cos (x) =0$

exercice 3

On a $cos (\frac{2\pi}{3}) =-\frac{1}{2}$
Donc les solutions de l'équation sont les nombres de la forme $\frac{2\pi}{3}+2k\pi \text{ et } -\frac{2\pi}{3}+2k\pi \text{ avec } k$ entier relatif.

exercice 4

Puisque $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ , on a :

$(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{AD}) =(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC})+2k\pi \\=-(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BO})+2k\pi \\ =-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})+2k\pi \\ =-\frac{\pi}{6}+2k\pi$
D'après la relation de Chasles, on a :

$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DC}) =(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DC})+2k\pi \\ =(-\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AD})-\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ =(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AD})+\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2k\pi =\frac{4\pi}{6}+2k\pi =\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

Publié par Prof digiSchool le 31-07-2016

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