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Fiche de mathématiques





I. Monotonie

* On étudie le signe de u_{n+1} - u_{n} après l'avoir exprimé en fonction de n.
* Si u_{n} > 0 pour tout n (et seulement dans ce cas), on peut comparer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1 (méthode conseillée lorsque u_{n} s'écrit sous forme d'un produit ou d'un quotient).

II. Suites arithmétiques

* On montre que (u_{n}) est arithmétique en calculant u_{n+1} - u_{n}, et en vérifiant que cette quantité ne dépend pas de n.
* Pour exprimer u_{n} en fonction de n, il est préférable de retenir la formule u_{n} = u_{p} + (n - p)r, valable quel que soit le premier terme de la suite arithmétique.
* Retenir que la somme les n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par S_n = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}
(tester sur une ou deux valeurs de n en cas de doute).

III. Suites géométriques

* On montre que (u_{n}) est géométrique en calculant \dfrac{u_{n+1}}{u_n} (si u_{n} \neq 0) et en vérifiant que cette quantité ne dépend pas de n.
* Retenir que : u_{n} = u_{p} q^{n-p}
* Retenir que si q \neq 1, alors : S_n = \text{(premier terme)} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.

IV. Limites

* Si u_{n} s'écrit f(n), se ramener aux théorèmes sur les limites de fonctions en +\infty.
* Comparer le plus souvent possible u_{n} à des suites connues, grâce aux théorèmes de comparaison suivants :

Si, à partir d'un certain rang, |u_{n}-l| \le v_{n} et si \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = 0,
alors (u_{n}) converge vers l et on note : \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = l.

- Si, à partir d'un certain rang, u_{n} \ge v_{n} et si \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = +\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = +\infty.
- Si, à partir d'un certain rang, u_{n} \le v_{n} et si \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = -\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = -\infty.

et du théorème suivant :
Si, à partir d'un certain rang, u_{n} \le v_{n} \le w_{n} et si :
\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = \lim_{n\to +\infty} w_{n} = l,
alors \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = l.




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