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Fiche de mathématiques




Définition :
On nomme fonction carrée, la fonction définie sur \mathbb{R} par x \mapsto x^2.

Tableau de valeurs :
x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3
x^2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

Remarque :
La fonction carrée n'est pas linéaire.
Cette fonction est paire : pour tout x, f(x) = f(-x).

Représentation graphique :
Fonction carrée - seconde : image 1
Définition :
La représentation graphique de la fonction carrée se nomme parabole.

Remarque :
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carrée.

Remarque :
La représentation graphique permet également de trouver les produits de deux nombres. Exemple : 2 × 3 = 6 ...

Repérage sur le graphe :
Fonction carrée - seconde : image 2

Sens de variation :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 0 & & +\infty \\ \hline x \mapsto x^2 & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}



Fonctions se ramenant à la fonction carrée :


   * La représentation graphique de la fonction x \mapsto (x+a)^2 est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « horizontale » :
Fonction carrée - seconde : image 3

La fonction x \mapsto (x-3)^2 est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}.
La fonction x \mapsto (x+4)^2 est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}.
Exercice : Représenter la fonction x \mapsto (x+3)^2.


   * La représentation graphique de la fonction x \mapsto x^2 + b est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « verticale » :
Fonction carrée - seconde : image 4

La fonction x \mapsto x^2 + 3 est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}.
La fonction x \mapsto x^2 - 4 est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}.
Exercice : Représenter la fonction x \mapsto x^2 + 4 .


En général, vu que x^2 + a x + b = (x-\alpha)^2 + \beta avec \alpha=-\dfrac{a}{2} et \beta=b-\dfrac{a^2}{4}, la représentation graphique de toute fonction trinôme du type x \mapsto x^2 + ax + b est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation.


La fonction x \mapsto (x + 3)^2 + 4 = x^2 + 6 x + 13 est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} puis d'une translation de vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}.
Fonction carrée - seconde : image 5

Exercice : Représenter la fonction x \mapsto x^2 + 6x + 5.


Résolution d'équation et d'inéquation


   * Résolution de x^2 = k
Si k > 0 Si k = 0 Si k < 0
Fonction carrée - seconde : image 6 Fonction carrée - seconde : image 7 Fonction carrée - seconde : image 8
deux solutions : \sqrt{k} et -\sqrt{k} unique solution : 0 aucune solution dans \mathbb{R}
un carré est toujours positif



   * Résolution d'une inéquation avec k > 0
x^2 > k et k > 0 x^2 < k et k > 0
Fonction carrée - seconde : image 9 Fonction carrée - seconde : image 10
S = ]-\infty ; -\sqrt{k}[ \cup ]\sqrt{k} ; +\infty[ S = ]-\sqrt{k} ; \sqrt{k}[



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