Fiche de mathématiques

Fonction carrée

Définition :

On nomme fonction carrée, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$ .

Tableau de valeurs :

$x$	-3	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	3
$x^2$	9	4	1	0,25	0	0,25	1	4	9

Remarque :
La fonction carrée n'est pas linéaire.
Cette fonction est paire : pour tout $x$ , $f(x) = f(-x)$ .

Représentation graphique : Fonction carrée - seconde : image 1

Définition :

La représentation graphique de la fonction carrée se nomme parabole.

Remarque :
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carrée.

Remarque :
La représentation graphique permet également de trouver les produits de deux nombres. Exemple : 2 × 3 = 6 ...

Repérage sur le graphe : Fonction carrée - seconde : image 2

Sens de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline x \mapsto x^2 & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

Fonctions se ramenant à la fonction carrée :

La représentation graphique de la fonction $x \mapsto (x+a)^2$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « horizontale » : Fonction carrée - seconde : image 3

La fonction $x \mapsto (x-3)^2$ est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
La fonction $x \mapsto (x+4)^2$ est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto (x+3)^2$ .

La représentation graphique de la fonction $x \mapsto x^2 + b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation « verticale » : Fonction carrée - seconde : image 4

La fonction $x \mapsto x^2 + 3$ est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
La fonction $x \mapsto x^2 - 4$ est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ .
Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto x^2 + 4$ .

En général, vu que $x^2 + a x + b = (x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=-\dfrac{a}{2}$ et $\beta=b-\dfrac{a^2}{4}$ , la représentation graphique de toute fonction trinôme du type $x \mapsto x^2 + ax + b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation.

La fonction $x \mapsto (x + 3)^2 + 4 = x^2 + 6 x + 13$ est représentée par la courbe de la fonction carrée suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ puis d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Fonction carrée - seconde : image 5

Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto x^2 + 6x + 5$ .

Résolution d'équation et d'inéquation

Résolution de $x^2 = k$

Si $k > 0$	Si $k = 0$	Si $k < 0$

deux solutions : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$	unique solution : 0	aucune solution dans $\mathbb{R}$ un carré est toujours positif

Résolution d'une inéquation avec $k > 0$

$x^2 > k$ et $k > 0$	$x^2 < k$ et $k > 0$

$S = ]-\infty ; -\sqrt{k}[ \cup ]\sqrt{k} ; +\infty[$	$S = ]-\sqrt{k} ; \sqrt{k}[$

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