Fiche de mathématiques

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Exercice sur la fonction carré

exercice 1

Déterminer, lorsque c'est possible, les antécédents des nombres suivants par la fonction carré.
1. 36
2. -9
3. 2
4. $\frac{16}{49}$

exercice 2

On considère la fonction f définie sur [-3 ; 5] par $f(x) = x^2$ .

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ .
2. Dans chacun des cas suivants, déterminer le minimum, le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle I indiqué et pour quelles valeurs ils sont atteints. Justifie la réponse.
a) I = [1 ; 4]
b) I = [-2 ; -1]
c) I = [-1 ; 2]

exercice 3

Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1. $x^2 > 25$
2. $x^2 > 0$
3. $x^2 \geq -2$
4. $x^2 \leq 5$
5. $x^2 \leq -3$

exercice 4

Dans chacun des cas, déterminer un encadrement de $x^2$ . Justifie tes réponses.
1. $x \in [2 ; 4]$
2. $x \in [-5 ; -2]$
3. $x \in [-4 ; 3]$
4. $x \in [-5 ; 1[$

exercice 5

Dans chacun des cas, comparer les nombres suivants en utilisant les variations de la fonction carré.
1. $(-5)^2 \text{ et } (-3)^2$
2. 2² et 6²
3. $(-\sqrt{3})^2$ et $(-\sqrt{5})^2$
4. 1,5² et $(1+\frac{1}{3})^2$

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exercice 1

1. Les antécédents de 36 par la fonction carré sont solutions de l'équation $x^2=36$
$x^2=36 \\x^2-36=0\\ (x-6)(x+6)=0\\x=6 \text{ ou } x=-6$
Les antécédents de 36 par la fonction carré sont -6 et 6.

2. On veut résoudre l'équation $x^2 = -9$ .
Un carré étant toujours positif, cette équation n'a pas de solution et -9 n'a pas d'antécédent par la fonction carré.

3. On veut résoudre l'équation $x^2 = 2$ .
Elle possède deux solutions : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ .
Les antécédents de 2 par la fonction carré sont donc $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

4. On veut résoudre l'équation $x^2 = \frac{16}{49}$ .
Elle possède deux solutions $\frac{4}{7}$ et $-\frac{4}{7}$ .
Ainsi les antécédents de $\frac{16}{49}$ sont $-\frac{4}{7}$ et $\frac{4}{7}$ .

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur [-3 ; 5] par $f(x) = x^2$ .

Exercice sur la fonction carré : image 1

a. Sur I = [1 ; 4]
La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ;+\infty [$ .
Par conséquent, pour tout $x \in [1 ; 4]$ on a :
$1^2 \leq x^2 \leq 4^2$ soit $1 \leq x^2 \leq 16$ .
Le minimum de f sur I est donc 1 atteint en 1 et son maximum est 16 atteint en 4.

b. Sur I = [-2 ; -1]
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;0]$ .
Par conséquent, pour tout $x \in [-2 ; -1]$ on a :
$(-1)^2 \leq x \leq (-2)^2$ soit $1 \leq x^2 \leq 4$ .
Le minimum de f sur I est donc 1 atteint en -1 et son maximum est 4 atteint en -2.

c. Sur I = [-1 ; 2]
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ; 0]$ .
Donc si $x \in [-1 ; 0]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq (-1)^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 1$ .

La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ .
Donc si $x \in [0 ; 2]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq 2^2$ soit $0 \leq x \leq 4$ .

En résumé si $x \in I$ alors $0 \leq x^2 \leq 4$
Le minimum de la fonction f est donc 0 atteint en 0 et son maximum est 4 atteint en 2.

exercice 3

1. $x^2 > 25$

Exercice sur la fonction carré : image 2

La solution de cette inéquation est $]-\infty ; -5[\cup ]5 ; +\infty [$ .

2. $x^2 >0$

Exercice sur la fonction carré : image 3

La solution de cette inéquation est $]-\infty ; 0[\cup ]0 ; +\infty [$

3. $x^2 \geq -2$

Exercice sur la fonction carré : image 4

Tous les nombres sont donc solution de cette inéquation.

4. $x^2 \leq 5$

Exercice sur la fonction carré : image 7

La solution de cette inéquation est donc $[-\sqrt{5};\sqrt{5}]$ .

5. $x^2 \leq -3$
Un carré ne peut pas être négatif. Par conséquent aucun nombre n'est solution de cette inéquation.

exercice 4

1. $x \in [2 ; 4]$
La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty [$ .
Par conséquent $2^2 \leq x \leq 4^2$ soit $4 \leq x^2 \leq 16$ .

2. $x \in [-5 ; -2]$
La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ .
Par conséquent $(-2)^2 \leq x^2 \leq (-5)^2$ soit $4 \leq x^2 \leq 25$ .

3. $x \in [-4 ; 3]$
La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$
Donc si $x \in [-4 ; 0]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq (-4)^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 16$ .

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ;+\infty [$
Donc si $x \in [0 ; 3]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq 3^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Par conséquent si $x \in [-4 ; 3]$ alors $0 \leq x^2 \leq 16$
C'est flagrant quand on trace la courbe.

Exercice sur la fonction carré : image 6

4. $x \in [-5 ; 1[$
La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$
Donc si $x \in [-5 ; 0]$ alors $02 \leq x^2 \leq (-4)2$ soit $0 \leq x^2 \leq 25$ .

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ;+\infty [$
Donc si $x \in [0 ; 1[$ alors $0^2 \leq x^2 < 1^2$ soit $0 \leq x^2 < 1$ .

Par conséquent si $x \in [-5 ; 1[$ alors $0 \leq x^2 \leq 25$
Remarque : la valeur 1 est atteinte pour x = -1.

exercice 5

La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ .
Or -5 < -3 < 0 donc (-5)² > (-3)²

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty [$ .
Or 0 < 2 < 6 donc 2² < 6²

La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ .
Or $-\sqrt{5} < -\sqrt{3} < 0$ donc $(-\sqrt{3})^2 < (-\sqrt{5})^2$

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty [$ .
Or $1 + \frac{1}{3} \approx 1,33 < 1,5$ donc $1,5^2 > (1+\frac{1}{3})^2$

Publié par malou le 10-05-2017

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