Fiche de mathématiques

les nombres

Nombres, Ensemble, Nombres premiers

I. Nombre

1. Qu'est-ce ?

Un nombre est composé d'un signe : + ou - et d'une distance à zéro, appelé valeur absolue.

Exemple :

La valeur absolue de +3 est |+3| = 3.

La valeur absolue de -3 est |-3| = 3.

Remarque :
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.

2. Écriture scientifique

Rappel sur les puissances :
Notation : pour tout réel a et tout entier naturel $n \geq 2$ , on a : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{\text{ n facteurs }}$ .
Par convention, nous avons : $a^1 = a \hspace{25pt} a^0 = 1 \hspace{25pt} a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Propriété :

Pour tous réels $a$ et $b$ , et tous entiers relatifs $n$ et $m$ :
$a^n \times a^m = a^{n + m}$ et par suite : $\dfrac{a^n}{a^m} = a^n \times a^{-m}$ (pour tout $a \neq 0$ ).
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et par suite : $\left(\dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (pour tout $b \neq 0$ ).

La notation scientifique d'un nombre est de la forme : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et n un entier relatif.
Exemples :

23 591 = 2,359 1 × 10⁴

0,0548 = 5,48 × 10^-2

II. Ensemble

Définition :

Un entier naturel est un nombre entier et positif.
Tous les entiers naturels forment un ensemble noté $\mathbb{N} = \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; ... \rbrace$ .

Exemple :
$26 \in \mathbb{N}$ se lit "26 appartient à $\mathbb{N}$ ". Mais $-3 \not \in \mathbb{N}$ .

Définition :

Un entier relatif est un nombre entier pouvant être positif ou négatif.
Tous les entiers relatifs forment l'ensemble noté $\mathbb{Z} = \lbrace . . . ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; . . . \rbrace$

Remarques :

Z comme Zahl en allemand qui signifie nombre.

Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, on dit que " $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ ", noté : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ . Mais $3,2 \not \in \mathbb{Z}$

Définition :

Un nombre décimal est un quotient d'un nombre entier par une puissance de 10.

Exemple :
$3,2 = \displaystyle \frac{32}{10^1}$ est un nombre décimal. Mais $\displaystyle \frac{2}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

L'ensemble des nombres décimaux se note $\mathbb{D}$ .
On a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ .
Remarque :
Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimal est finie, c'est-à-dire qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule.

Définition :

Un nombre rationnel est un quotient de deux nombres entiers : $\displaystyle \frac{p}{q}$ tel que $p \in \mathbb{Z} \text{ et } q \in \mathbb{N}$

Exemple :
$\displaystyle \frac{2}{3}$ est un nombre rationnel.

L'ensemble des nombres rationnel se note $\mathbb{Q}$ .
On a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .

Attention : $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q} \, ; \, \pi \not \in \mathbb{Q}$ . Ils sont irrationnels.
L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels forment l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ .
On a : $\boxed{\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}}$
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 1

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III. Arithmétique : Nombres premiers

Définition :

On dit que $\left \lbrace \begin{array}{l} \text{b divise a} \\ \text{b est un diviseur de a} \\ \text{a est divisible par b} \\ \end{array} \right.$ , si le quotient exact de a par b est un nombre entier.

Exemples :
2 divise 48. 3 ne divise pas 10.

Critère de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Remarque :
Un nombre entier est toujours divisible par 1 et lui-même.

Définition :

Un nombre est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples :
2 ; 3 ; 5 sont premiers. 24 n'est pas premier, car 24 = 2 × 12.

Attention : 1 n'est pas un nombre premier.

Décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers :

Théorème :

Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs de nombres premiers.

Exemple :
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Applications : $\displaystyle \frac{24}{180} = \frac{2^3 \times 3}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{2}{15}$ ou $\displaystyle \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{180}} = \sqrt{\frac{24}{180}} = \sqrt{\frac{2}{15}}$ .

IV. Comparer deux nombres

Comparer deux nombres équivaut à étudier le signe de la différence :
$a < b \, \Longleftrightarrow \, a - b < 0\\ a > b \, \Longleftrightarrow \, a - b > 0 \\ a = b \, \Longleftrightarrow \, a - b = 0$
La valeur absolue de la différence entre deux nombres est appelée la distance entre ces deux nombres.
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 2

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Rappel : a est l'abscisse du point A.
AB = |a - b| = |b - a|
Exemple :
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 3

AB = |3,5 - 2| = |2 - 3,5| = 1,5
Nous pouvons résoudre $|x - 2| = 5 \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x - 2 & 5 \\ x - 2 & -5\\ \end{array} \right. \, \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x & 7 \\ x & -3\\ \end{array} \right.$
Ainsi $\mathcsr{S} = \lbrace -3 ; 7 \rbrace.$

En plaçant un point C entre A et B, son abscisse c sera compris entre a et b : $a \leq c \leq b.$
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 4

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Sous forme d'ensemble, cela s'écrit : $c \in [a \, ; \, b].$

Définition :

On appelle intervalle un ensemble de nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement.

Ensemble des réels $x$ tels que	Représentation graphique	Notation
$a \textcolor{red}{\leq} x \textcolor{green}{\leq} b$		$x \in \textcolor{red}{[} a ; b \textcolor{green}{]}$
$a \textcolor{red}{<} x \textcolor{green}{\leq} b$		$x \in \textcolor{red}{]} a ; b \textcolor{green}{]}$
$a \textcolor{red}{\leq} x \textcolor{green}{<} b$		$x \in \textcolor{red}{[} a ; b \textcolor{green}{[}$
$a \textcolor{red}{<} x \textcolor{green}{<} b$		$x \in \textcolor{red}{]} a ; b \textcolor{green}{[}$
$a \textcolor{red}{\leq} x$		$x \in \textcolor{red}{[} a ; +\infty[$
$a \textcolor{red}{<} x$		$x \in \textcolor{red}{]}a ; +\infty[$
$x \textcolor{green}{\leq} b$		$x \in ]-\infty ; b \textcolor{green}{]}$
$x \textcolor{green}{<} b$		$x \in ]-\infty ; b \textcolor{green}{[}$

Exemple : Résoudre $5 - 6x \leq - \displaystyle \frac{3}{5} + 2x$
$\displaystyle \frac{28}{5} \leq 8x$
Ainsi, $\displaystyle \frac{7}{10} \leq x$
D'où : $\mathscr{S} = \left[ \displaystyle \frac{7}{10} \, ; \, +\infty \right[.$

Définition :

Soient deux intervalles I et J de $\mathbb{R}$ .

Les réels qui sont à la fois dans I et dans J appartiennent à l'intersection de I et de J : si $x \in \text{I}$ et $x \in \text{J}$ , alors $x \in \text{I} \cap \text{J}$ (le symbole $\cap$ se lit "inter").

Les réels qui sont soit dans I, soit dans J appartiennent à la réunion de I et de J : si $x \in \text{I}$ ou $x \in \text{J}$ , alors $x \in \text{I} \cup \text{J}$ (le symbole $\cup$ se lit "union").

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