Fiche de mathématiques

Statistiques

I. Vocabulaire des séries statistiques

Entreprendre une étude statistique, revient à classer des individus d'une population en fonction d'un caractère.

Exemple 1 : classer les élèves d'une classe en fonction de leur note.
12 ; 16 ; 18 ; 4 ; 16 ; 12 ; 10 ; 5 ; 9 ; 13 ; 12 ; 10 ; 11 ; 11 ; 13.
fleche

4 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 16 ; 16 ; 18.

Un échantillon de taille n est une partie de la population contenant n individus.

Exemple 2 : lors d'une enquête d'opinion, on ne peut pas poser les questions à toutes les personnes. On va sonder un échantillon de la population, choisi de manière à ce que les résultats soient le plus fiable possible.

Lorsque le caractère étudié prend des valeurs numériques, on dira qu'il est quantitatif, sinon il est qualitatif.
Dans le premier exemple, le caractère étant des notes, il est quantitatif.
Dans le second exemple, le caractère étant une opinion, il est qualitatif.

L'effectif est le nombre d'individu ayant un caractère spécifique.

Notes	4	5	9	10	11	12	13	16	18	Total :
Effectifs	1	1	1	2	2	3	2	2	1	15

La fréquence est le rapport de l'effectif d'un caractère sur l'effectif total.
$\text{fréquence}=\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$

Notes	4	5	9	10	11	12	13	16	18	Total :
Effectifs	1	1	1	2	2	3	2	2	1	15
Fréquences	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{3}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	1

Remarque : une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1.
La somme des fréquences est égale à 1.

II. Mesures de tendance centrale et de dispersion

1. Mesure de dispersion

L'étendue de la série quantitative est la différence entre le plus grand caractère et le plus petit.

2. Mesure de tendance centrale

a) Mode et classe modale
On appelle mode (ou classe modale) la valeur (ou la classe) du caractère pour laquelle l'effectif est le plus grand.
Exemple : le mode de la série des notes est 12.
Exemple 3 :

classe	[0 ; 5[	[5 ; 10[	[10 ; 15[	[15 ; 20]
effectif	1	2	9	3

La classe modale de cette série est [10 ; 15[.

b) Moyenne
La moyenne d'une série quantitative est la somme des produits des caractères $x_i$ par l'effectif $n_i$ , divisé par l'effectif total N :
$\bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{p}x_i \times n_i}{N}=\dfrac{x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p}{N}$
Exemple : la moyenne des notes dans l'exemple 1 est :
$\dfrac{4 \times 1 + 5 \times 1 + 9 \times 1 + 10 \times 2 + 11 \times 2 + 12 \times 3 + 13 \times 2 + 16 \times 2 + 18 \times 1}{1+1+1+2+2+3+2+2+1} \approx 11,5$

Remarque : pour calculer la moyenne d'une série regroupée en classes d'intervalles, on détermine le centre de chaque classe, puis on calcule la moyenne pondérée en s'aidant de ces centres.

classe	[0 ; 5[	[5 ; 10[	[10 ; 15[	[15 ; 20]
effectif	1	2	9	3
centre	2,5	7,5	12,5	17,5

La moyenne est : $\dfrac{2,5 \times 1 + 7,5 \times 2 + 12,5 \times 9 + 17,5 \times 3}{1+2+9+3} \approx 12,2$

Propriété de linéarité :

Multiplier tous les caractères $x_i$ de la série par un nombre $a$ revient à multiplier la moyenne $\bar{x}$ par $a$ : $\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{p}ax_i \times n_i}{N}=a\bar{x}$

Ajouter un nombre $b$ à tous caractères $x_i$ de la série revient à ajouter le nombre $b$ à la moyenne $\bar{x}$ : $\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{p}(x_i+b) \times n_i}{N}=\bar{x}+b$

Une série x est séparée en deux sous groupes de moyenne $\bar{x_1}$ d'effectif total $N_1$ et $\bar{x_2}$ d'effectif total $N_2$ .
La moyenne de cette série est alors : $\bar{x}=\dfrac{\bar{x_1} \times N_1 + \bar{x_2} \times N_2}{N_1+N_2}$

Il arrive qu'il faille ignorer les caractères extrêmes (le minimum et le maximum). Dans ce cas, on recherche la moyenne élaguée.
Exemple 4 : on relève 10 fois une même intensité en mA :
5,1 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,3 ; 5,3 ; 6,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,2 ; 5,2.
On peut soupçonner une erreur de lecture lors de la 6^e mesure. Ainsi on cherchera la moyenne expérimentale en l'omettant : $\dfrac{5,1 + 5,3 + 5,4 + 5,3 + 5,3 + 5,2 + 5,3 + 5,2 + 5,2}{9} \approx 5,3$ .

c) Médiane
La médiane est le nombre partageant la population en deux parties de même effectif de sorte qu'il y a 50% des individus ayant un caractère inférieur ou égal à la médiane (de même, il y a 50% des individus ayant un caractère supérieur ou égal à la médiane).
Exemple : cours sur les statistiques - seconde : image 1

cours sur les statistiques - seconde : image 1

Remarque : la médiane peut être illustrée par une ligne de partage.
Ici, l'effectif total de la série (15) est impair, mais dans certain cas cet effectif est pair. Dans ce cas, on peut prendre pour médiane, la moyenne des deux nombres se situant autour de la ″ligne de partage″ :
cours sur les statistiques - seconde : image 2

cours sur les statistiques - seconde : image 2

Merci à muriel

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