Fiche de mathématiques

Systèmes linéaires, fonctions affines, fonctions linéaires

I. Systèmes linéaires

Définition :

Un système linéaire à deux inconnues peut s'écrire sous cette forme :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} ax+by & c \\ a'x+b'y & c' \\ \end{array} \right.$ où a, a', b, b', c et c' sont des réels donnés.

Résoudre un tel système, c'est trouver les couples $(x ; y)$ vérifiant ce système.

Exemple :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+y & 0 \\ 4x+3y & 1 \\ \end{array} \right.$
$\marhcal{S} = \left \lbrace \left( - \displaystyle \frac{1}{2} ; 1 \right) \right \rbrace$

Il peut y avoir une infinité de solutions, une unique solution, ou aucune solution.

Si $ab' - a'b \ne 0$ , alors le système admet une unique solution.
Exemple :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+y & 0 \\ 4x+3y & 1 \\ \end{array} \right.$
$2 \times 3 - 4 \times 1\ne0$ .
Il n'y a qu'une solution.

Si $ab'-a'b = 0$ , alors il y a deux cas à envisager :

Les deux équations sont proportionnelles et il y a une infinité de solution.
Exemple :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+3y & 5 (1) \\ 4x+6y & 10 (2)\\ \end{array} \right.$
$2\times6-4\times3=0$ et (2) = 2 × (1).
Il y a une infinité de solutions

Les deux équations ne sont pas proportionnelles et il n'y a aucune solution.
Exemple :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+3y & 5 (1)\\ 4x+6y & 5 (2)\\ \end{array} \right.$
$2\times6-4\times3=0$ et pas de proportionnalité.
Il n'y a pas de solution.

II. Fonctions affines

Définition :

On appelle fonction affine les fonctions du type : $x \mapsto m x + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$ .

Exemple :
Un abonnement de cinéma revient à 10 € la carte, puis 5 € à chaque séance.
Pour $x$ séances, cela revient à $5x + 10$ euros.
Ainsi on peut définir la fonction qui donne le prix en fonction du nombre de séances : $x \mapsto 5x + 10$ .

Remarques :

Si $p = 0$ , la fonction est dite linéaire : $x \mapsto m x$ avec $m$ réel.

Si $m = 0$ , la fonction est dite constante : $x \mapsto p$ avec $p$ réel.

Propriété :

Soit $f$ une fonction affine définie par $x \mapsto m x + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$ .
$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ si $m > 0$ .
$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ si $m < 0$ .

La démonstration se fait à l'aide de la définition de croissance et décroissance d'une fonction.

Tableau de valeurs de la fonction $x \mapsto 5x + 10$ :

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$5x + 10$	10	15	20	25	30	35	40

Ce n'est pas un tableau de proportionnalité. La fonction n'est pas linéaire. Ainsi, on ne peut trouver le réel $m$ par simple division.

III. Taux de variation

Exemple : Trouver la fonction affine telle que nous ayons :

$x$	-4	-2	3	5
$f(x)$	-9	-5	5	9

Nous savons qu'une telle fonction s'écrit sous cette forme : $f(x) = m x + p$ avec $m$ et $p$ réels.
Ainsi en particulier nous avons : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(-2) & -2m+p = -5 \\ f(3) & 3m+p = 5 \\ \end{array} \right.$
En soustrayant membre à membre nous obtenons : $(3 - (-2)) m = 8 - (-7)$ , soit : $m = \displaystyle \frac{5-(-5)}{3-(-2)}=2$
Pour le nombre $p$ , il suffira de remplacer la valeur de $m$ dans une des équations :
$p = 5 - 3 2 = -1$
Ainsi la fonction affine est : $x \mapsto 2x - 1$ .

Plus généralement, pour trouver le réel $m$ , il suffit de prendre deux réels $x_1$ et $x_2$ distincts tels qu'on connaît les images. Nous avons ainsi : $\fbox{ \displaystyle m = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} }$ .

Définition :

$\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ est appelé taux de variation de la fonction f.

IV. Variation d'une fonction affine

Représentation graphique de la fonction affine : $x \mapsto 2x - 1$ sur $\mathbb{R}$ . cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 1

cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 1

Définitions :

Une fonction affine est représentée par une droite.
Le nombre $m$ est appelé coefficient directeur de la droite représentant la fonction $f : x \mapsto m x + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$ .
(le vecteur de coordonnées $\bigl(\begin{smallmatrix}1\\m\end{smallmatrix}\bigr)$ est appelé vecteur directeur de la droite).
Le nombre $p$ est appelé ordonnée à l'origine de la droite représentant la fonction $f : x \mapsto m x + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$ .
$y = m x + p$ est appelé équation réduite de la droite représentant la fonction $f : x \mapsto m x + p$ avec $m, p \in \mathbb{R}$ .

Remarque :
La droite parallèle à l'axe des ordonnées ne représente pas une fonction affine. cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 2

cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 2

Propriété :

Soient deux droites (d) d'équation $y = m x + p$ et (d') d'équation $y = m' x + p'$ .
(d) // (d') $\Longleftrightarrow m = m'$

La démonstration se fait à l'aide de vecteurs :
Soit $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ les vecteurs directeurs de la droite (d) et de la droite (d').
(d) // (d') $\Longleftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires.
(d) // (d') $\Longleftrightarrow x_{\vec{u}} \times y_{\vec{u'}'} - x_{\vec{u'}}\times y_{\vec{u}} = 0$ .
(d) // (d') $\Longleftrightarrow 1 \times m' - 1 \times m = 0$ .
(d) // (d') $\Longleftrightarrow m = m'$ .

Recherche du signe de $m x + p$ avec $m \neq 0$
$m x + p = 0 \Longleftrightarrow x = - \displaystyle \frac{p}{m}$ .
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & -\frac{p}{m} & & +\infty \\ \hline mx + p & & \text{signe de -m} & 0 & \text{signe de m}& \\ \hline \end{tabvar}$

Exemple :
Soit la fonction $f$ définie par : $x \mapsto 2x - 1$ sur $\mathbb{R}$ .
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & \frac{1}{2} & & +\infty \\ \hline 2x-1 & & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$

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