Fiche de mathématiques
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Exercices faciles de seconde

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exercice 1

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R} par f : x \mapsto 3x - 2.
Etudier le sens de variations de la fonction f sur  \mathbb{R} puis dresser le tableau de variations de cette fonction f.



exercice 2

Est-ce qu'une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I, est décroissante sur I ?



exercice 3

Une fonction f, définie sur  \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant :
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x & -\infty & \hspace{25pt} & 2 & \hspace{25pt} & +\infty \\  \hline   \hspace{1pt} & &  & & & \\   f(x)& & \searrow & & \nearrow  & \\    \hspace{1pt} & & & 1 & & \\  \hline  \end{array}


1. Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) > 0

2. Résoudre l'inéquation f(x) \geq 1



exercice 4

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R} par f : x \mapsto 2|x|.
Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de la fonction f.



exercice 5

Compléter :
Si -2 < x < 3, alors ...... x² ......



exercice 6

Dresser le tableau de variations de la fonction f : x \mapsto -\dfrac{x}{2} définie sur  \mathbb{R}.
Puis la représenter graphiquement.



exercice 7

Résoudre graphiquement le système d'équations suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  3x^2  \\ y  &  2 - x \\ \end{array} \right.



exercice 8

Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation x² < 3.
    a) par le calcul,
    b) graphiquement.



exercice 9

1. Montrer que pour tous réels a et b strictement positifs, -\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur [0; +\infty[ par f : x \mapsto -\sqrt{x} et la représenter graphiquement.



exercice 10

Etudier la parité de la fonction f définie sur [0; +\infty[ par f : x \mapsto \sqrt{2x}.



exercice 11

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}* par f(x) = \dfrac{1}{x}.

1. Quels sont les réels x tels que f(x) > 106 ?

2. Quels sont les réels x tels que f(x) < 105 ?

3. Quels sont les réels x tels que 0 < f(x) < 10-4 ?



exercice 12

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}* par f(x)=-\dfrac{2}{x}.

1. Etudier les variations de la fonction f sur ]0; +\infty[.

2. Etudier la parité de la fonction f et en déduire les variations de la fonction f sur ]-\infty; 0[.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f et la représenter graphiquement.



exercice 13

Résoudre graphiquement dans \mathbb{R} le système d'équations suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \frac{3}{x} \\  y  &  x - 2 \\ \end{array} \right.



exercice 14

Démontrer que pour tout réel x, on a :
(sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x



exercice 15

ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure x en radians de \widehat{ADC} varie entre 0 et \dfrac{\pi}{2}.
La tige [AD] est fixe. On donne AD = 3 et AB = 2.

1. Exprimer l'aire \mathcal{A} du parallélogramme en fonction de x.

2. Comment choisir x pour avoir \mathcal{A} = 4 ? (arrondir au degré près)



exercice 1

Pour tout réel x, f(x) = 3x - 2
f est une fonction affine de coefficient directeur 3, strictement positif.
Donc f est croissante sur \mathbb{R}.

OU Soient a et b deux rééls tels que a < b.
On a :
f(a) - f(b) = 3a - 2 - (3b - 2) = 3a - 2 - 3b + 2 = 3(a - b)
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc 3(a - b) < 0.
Conclusion : Pour tous rééls a et b tels que a < b, f(a) - f(b) < 0, soit f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur \mathbb{R}.

\begin{array}{|c|ccc|} 	\hline  	x & -\infty & & +\infty \\ 	\hline  	\textrm{variations de la fonction f}& & \nearrow &\\ 	\hline \end{array}




exercice 2

NON, une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I n'est pas nécessairement décroissante; elle peut être constante (exemple : f(x) = 4) ou ni croissante, ni décroissante (exemple : f(x) = cos(x) sur I = [0: 2\pi]).



exercice 3

1. Le minimum de la fonction f est atteint en 2 et vaut 1.
Donc pour tout réel x, f(x) \ge 1 (définition du minimum), donc en particulier f(x) > 0.

2. L'inéquation f(x) \ge 1 a donc comme ensemble de solutions : \mathcal{S} = \mathbb{R}.



exercice 4

Pour tout réel x, f(x) = 2|x|.
Donc, pour tout réel x, f(x) = \left \lbrace \begin{array} \array{2x \text{ si } x \ge 0\\-2x \text{ si } x < 0\\ \end{array} \right.
Sur ]-\infty; 0], f est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc f est décroissante sur ]-\infty; 0].
Sur [0; +\infty[, f est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc f est croissante sur [0; +\infty[.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline\textrm{variations de f}&&\searrow&_0&\nearrow&\\\hline\end{array}



exercice 5

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 2

Si -2 < x < 3 :
f(x) varie sur la portion de courbe délimitée par A et B. Les valeurs de f(x) sont donc comprises entre 0 et 9.
Conclusion : si -2 < x < 3, on a 0 \le x² < 9.



exercice 6

Pour tout réel x \hspace{5pt} f(x) = -\dfrac{x}{2}.
f est une fonction linéaire de coefficient -\dfrac{1}{2}, strictement négatif.
Donc f est décroissante sur \mathbb{R}.

\begin{array}{|c|ccc|}\hline x&-\infty&&+\infty\\\hline\textrm{variations de f}&&\searrow&\\\hline\end{array}

Représentation graphique
f(2) = -\dfrac{2}{2} = -1 et f(-4) = -\dfrac{-4}{2} = 2.
Donc les points A(2; -1) et B(4; 2) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 3




exercice 7

Pour représenter graphiquement le système, il faut tracer les deux courbes d'équation y = 3x² (en rouge) et g(x) = 2 - x (en vert).

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 4

Les solutions de ce système sont les points d'intersection de ces deux courbes.
Donc : graphiquement on obtient \mathcal{S} = {-1; 0,6}.



exercice 8

a) x² < 3 équivaut successivement à
x² - 3 < 0
x² - (racine3)² < 0
(x - racine3)(x + racine3) < 0
x - racine3 < 0 si x < racine3
x + racine3 < 0 si x < -racine3

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&-\sqrt{3}&&\sqrt{3}&&+\infty\\\hline {(x-\sqrt{3})}&&-&&-&0&+&\\\hline {(x+\sqrt{3})}&&-&0&+&&+&\\\hline {(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}&&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}

D'où \mathcal{S} = ]-\sqrt{3}; \sqrt{3}[.

b) On trace la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x² et la droite d'équation y = 3. Les solutions de l'inéquation x² < 3 sont les abscisses des points de la courbe d'équation y = x² situés en dessous de la droite d'équation y = 3.

Représentation graphique :
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 5

\mathcal{S} = ]-\sqrt{3}; \sqrt{3}[.



exercice 9

f(x) = -\sqrt{x}
1. Pour tous rééls a et b positifs, on a :
-\sqrt{a}+\sqrt{b}=\dfrac{(-\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\ -\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

2. Soient a et b deux réel positifs tels que 0 \le a < b. On a :
f(a) - f(b) = -\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} (d'après la question précédente)
Or, a < b, donc b - a > 0.
Comme \sqrt{a} et \sqrt{b} sont deux nombres positifs, alors \sqrt{a} + \sqrt{b} > 0
Conclusion : pour tous rééls a et b positifs tels que 0 \le a < b, f(a) > f(b).
La fonction f est donc décroissante sur [0;+\infty[.

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 6

représentation graphique de la fonction f




exercice 10

f est définie sur [0; \infty[. Son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, donc la fonction f ne peut être ni paire ni impaire.



exercice 11

1.
f(x) > 10^6 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} > 10^6\\ \Longleftrightarrow x < \dfrac{1}{10^6}\\ \Longleftrightarrow x < 10^{-6}
D'où \mathcal{S} = ]-\infty; 10-6[.

2.
f(x) < 10^5 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} < 10^5 \\ \Longleftrightarrow x > \dfrac{1}{10^5} \\ \Longleftrightarrow x > 10^{-5}
D'où \mathcal{S} = ]10-5; +\infty[.

3.
0 < f(x) < 10^{-4} \Longleftrightarrow 0 <  \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{10^4} \\ \Longleftrightarrow x > 10^4
D'où \mathcal{S} = ]104; +\infty[.



exercice 12

1. Soient a et b deux réels de ]0; +\infty[ tels que 0 < a < b. On a :
f(a) - f(b) = -\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{-2b+2a}{ab} = \dfrac{2(a - b)}{ab}
Comme a et b sont strictement positifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc \dfrac{2(a-b)}{ab} < 0
C'est à dire f(a) - f(b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]0; +\infty[ tels que 0 < a < b, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; +\infty[.

2. Soient a et b deux réels de ]-\infty; 0[ tels que a < b < 0. On a :
f(a) - f(b) = \frac{2(a-b)}{ab}
Comme a et b sont strictement négatifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc \dfrac{2(a-b)}{ab} < 0
C'est à dire f(a) - f(b) < 0
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]-\infty; 0[ tels que a < b < 0, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; +\infty[.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline \textrm{variations}&&\nearrow&||&\nearrow&\\\hline \end{array}

Remarque : f est une fonction impaire, donc la représentation graphique de la fonction f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 7




exercice 13

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y&\dfrac{3}{x} \\ y&x-2 \\ \end{array} \right.
Pour résoudre graphiquement ce système, on trace dans une repère orthonormal, la courbe \mathcal{C} d'équation y = \dfrac{3}{x} et la droite \mathcal{D} d'équation y = x - 2.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection de \mathcal{C} et \mathcal{D}.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 8

\mathcal{S} = \lbrace (-1,-3); (3, 1)\rbrace



exercice 14

Pour tout réel x, (sin x + cos x)² = sin² x + 2 sin x cos x + cos² x.
Or cos² x + sin² x = 1 donc (sin x + cos x)² = 1 + 2sin x cos x



exercice 15

1. Pour déterminer l'aire du parallélogramme, il faut calculer la hauteur de celui-ci.
Soit H le projeté orthogonale de A sur (DC).
Dans le triangle ADH rectangle en H, on a :
\sin(\widehat{\text{ADC}}) = \dfrac{\text{AH}}{\text{AD}}.
Soit : \text{AH} = 3 \sin{x}.

Aire du parallèlogramme :
\mathcal{A} = base × hauteur
\mathcal{A} = AB × AH
\mathcal{A} = 2 × 3 \sin{x}
\mathcal{A} = 6 \sin{x}.

2. Résoudre \mathcal{A} = 4 équivaut à résoudre 6 \sin{x} = 4 soit encore \sin{x} = \dfrac{2}{3}.
Comme \widehat{\text{ADC}} est un angle aigu, alors x \approx 42°.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 9
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