Fiche de mathématiques
Chapitre : droites et systèmes

Les équations de droite

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exercice 1

Dans un repère (O, i, j), soit A(2; -1) et \vec{u}(-2; 2).
    a) Déterminer une équation de la droite d passant par A et de vecteur directeur \vec{u}.
    b) Tracer la droite d' d'équation x + y + 2 = 0.
    c) Les droites d et d' sont-elles parallèles?



exercice 2

Soit A(4; -3), B(7; 2) et u(6; -2).
Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{\text{AB}} ainsi que des points M et N tels que \overrightarrow{\text{AM}} = \vec{u} et \overrightarrow{\text{NB}} = \vec{u}.



exercice 3

On donne A(-2; 7), B(-3; 5) et C(4; 6).
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.



exercice 4

Ecrire une équation de la droite (AB) où A(-1; -2) et B(-5; -4).



exercice 5 - Vrai ou Faux ?

La droite d a pour équation 2x + 3y - 5 = 0.
    a) d passe par l'origine du repère.
    b) d passe par A(2; 1/3).
    c) d a pour vecteur directeur \vec{u}(-1; \frac{2}{3}).
    d) d a pour coefficient directeur \frac{2}{3}.



exercice 6

Soit la droite (d) d'équation 5x - y - 2 = 0.
Déterminer une équation de la droite (d') passant par A(2 ; -1) et parallèle à (d).



exercice 7

Déterminer un vecteur directeur de la droite d'équation:
    a) 3x - 7y + 4 = 0
    b) x = -y
    c) 8y - 4x = 0
    d) x = 4
    e) y - 5 = 0
    f) x = y



exercice 8

On considère les deux droites d et d' d'équations respectives 2x - y + 3 = 0 et 2x - y - 1 = 0.
Que peut-on dire des droites d et d'?



exercice 9

Soit B(-5; 1) et C(2; -4).
Trouver les coordonnées du point A commun à (BC) et à l'axe des abscisses.



exercice 10

On donne les points M(-1; 3), N(8; -4) et X(5; a) où a est un réel.
Comment choisir a pour que les points M, N et X soient alignés?



exercice 11

Déterminer y pour que D soit situé sur la parallèle à (AB) passant par C lorsque
  A(7; 2), B(3; -3), C(0; 2) et D(8; y).



exercice 12

Le plan est muni d'un repère (O, \vec{i}, \vec{j}).
    a) Placer les points A(1,5 ; 1,5), B(0; 3), C(-1; 0) et D(0; -3).
    b) Ecrire une équation pour chacune des droites (BC) et (AD).
Montrer que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
    c) Soit M le milieu de [AB] et N celui de [CD]. Calculer les coordonnées de M et de N.
Montrer que \overrightarrow{\text{MN}} = k \overrightarrow{\text{BC}}k est un réel que l'on précisera.
Que peut-on en déduire pour la droite (MN)? Montrer que (MN) passe par O.



exercice 13

Dans le plan muni d'un repère (O, \vec{i}, \vec{j}), on considère quatre points A(-1; 2), B(1; -1), C(2; 4) et D(6; -2).
    a) Faire une figure.
    b) Montrer que ABDC est un trapèze et non un parallélogramme.
    c) Soit I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Démontrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB).
    d) Soit K le milieu de [BC] et L le point tel que 2\overrightarrow{\text{AL}} = \overrightarrow{\text{AD}}. Monter que les points I, J, K et L sont alignés.

exercice 14

Dans un plan muni d'un repère, on considère un triangle ABC où A(-3;0), B(5; 0) et C(6; -6).
Soit A', B' et C' les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB].
    a) Calculer les coordonnées des points A', B' et C'.
    b) Déterminer une équation de la droite (AA'), de la droite (BB') et de la droite (CC').
    c) Calculer les coordonnées du point d'intersection G des droites (AA') et (BB').
    d) Le point G est-il sur la droite (CC')?
    e) L'équation x - y + 4 = 0 est-elle une équation de (AC')?



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