Fiche de mathématiques
Chapitre : géométrie dans l espace

Géométrie dans l'espace

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exercice 1

ABCD est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.
Démontrer que les arêtes opposées (celles qui ne se coupent pas) sont orthogonales.
un exercice corrigé de géométrie de l'espace - seconde : image 1




exercice 1

Pour démontrer que l'arête (AB) est orthogonale à l'arête (CD), il suffit de montrer que (CD) est orthogonale à un plan P qui contient (AB).
Mais quel plan P choisir ?
Comment trouver des droites orthogonales à la droite (CD) ?
Le fait que toutes les faces soient des triangles équilatéraux devant être utilisé, considérons le milieu M de [CD].
ACD est un triangle équilatéral, donc la médiane (AM) est aussi hauteur, donc (AM) perpendiculaire à (CD).
De même, puisque le triangle BCD est équilatéral, on a : (BM) perpendiculaire à (CD).
Le plan (ABM) contient donc deux droites sécantes perpendiculaires à (CD); il est par conséquent perpendiculaire à (CD).
Puisque (AB) est dans ce plan, (AB) est orthogonale à (CD).
Une démonstration identique montrerait que (BC) et (AD), ainsi que (AC) et (BD) sont orthogonales.
un exercice corrigé de géométrie de l'espace - seconde : image 2
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