Fiche de mathématiques

Géométrie dans l'espace

exercice 1

Section d'un cube
Sur les arêtes d'un cube, on marque les points I,J,K tels que : AI = AJ = AK = x,
où x est un réel donné strictement positif et strictement inférieur à la longueur a de l'arête du cube.

deux exercices sur la géométrie dans l'espace - seconde : image 1

deux exercices sur la géométrie dans l'espace - seconde : image 1

1. Pourquoi le triangle IJK est-il équilatéral ? Calculer son aire.

2. Comment appelle-t-on le solide AIJK ? Calculer son volume.

3. La perpendiculaire menée par A au plan (IJK) coupe ce plan en H.
Calculer AH en fonction de x.

exercice 2

Pavé et pyramide
Voici le dessin, en perspective cavalière, d'un parallélépipède rectangle de 8cm de longueur. La face ABCD est un carré de 4cm de côté et de centre O.

deux exercices sur la géométrie dans l'espace - seconde : image 2

deux exercices sur la géométrie dans l'espace - seconde : image 2

1. Calculer les distances BD, DE et EB.

2. Que dire du triangle EBD ?

3. Pourquoi la droite (EO) est elle perpendiculaire à la droite (BD) ?
Calculer EO.

4. On considère la pyramide de sommet E et de base le carré ABCD. Calculer le volume de cette pyramide.

Correction

exercice 1

1. Dans les triangles AIJ, AIK et AJK rectangles en A, d'après le théorème de Pythagore :
JI² = AI² + AJ² = x² + x² = 2x²
IK² = AI² + AK² = x² + x² = 2x²
JK² = AJ² + AK² = x² + x² = 2x²
Ainsi : IJ² = IK² = JK², d'où IJ = IK = JK donc le triangle IJK est équilatéral.

Soit L le pied de la hauteur issue de I dans le triangle IJK.
Le triangle IJK est équilatéral, donc : $\text{IL} = \dfrac{\text{JK} \sqrt{3}}{2}$ . Or JK² = 2x² donc JK = x $\sqrt{2}$ . D'où $\text{IL} = \dfrac{\text{x}\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\text{x}\sqrt{6}}{2}$ .

$A_{\text{IJK}} = \dfrac{\text{IL} \times \text{JK}}{2}$
$A_{\text{IJK}} = \dfrac{\text{x}\sqrt{2} \times \frac{\text{x}\sqrt{6}}{2}}{2}$
$A_{\text{IJK}} = \dfrac{\text{x}^2\sqrt{3}}{2}$

2. AIJK a quatre faces, donc c'est un tétraèdre.

$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{AIJ}} \times \text{AK}$
$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\text{AI} \times \text{AJ}}{2} \times \text{AK}$
$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\text{x} \times \text{x}}{2} \times \text{x}$
$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{\text{x}^3}{6}$

3. [AH] est une hauteur du tétraèdre AIJK donc : $V_{\text{AIJK}} = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{IJK}} \times \text{AH}$
$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\text{x}^2\sqrt{3}}{2} \times \text{AH}$
$V_{\text{AIJK}} = \dfrac{\text{x}^2\sqrt{3}}{6} \times \text{AH}$
Or $V_{\text{AIJK}} = \dfrac{\text{x}^3}{6}$ , donc $\dfrac{\text{x}^3 }{6} = \dfrac{\text{x}^2 \sqrt{3}}{6} \times \text{AH}$
donc : $\text{AH} = \dfrac{\text{x}\sqrt{3}}{3}$

exercice 2

1. [BD] est une diagonale du carré ABCD, donc $\text{BD} = \text{BC} \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm.

Dans ABE et ADE rectangles en A, d'après le théorème de Pythagore :
$\text{BE}^2 = \text{AE}^2 + \text{AB}^2$ et $\text{DE}^2 = \text{AE}^2 + \text{AD}^2$
$\text{BE}^2 = 8^2 + 4^2$ et $\text{DE}^2 = 8^2 + 4^2$
$\text{BE}^2 = 80$ et $\text{DE}^2 = 80$
$\text{BE} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ cm et $\text{DE} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ cm.

2. Ainsi, $\text{BE} = \text{DE} = 4\sqrt{5}$ cm. Donc le triangle BDE est isocèle en E.

3. ABCD est un carré donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Donc O milieu de [BD]. D'où, dans le triangle BDE, [EO] est une médiane. Or le triangle BDE est isocèle en E donc [EO] est aussi une hauteur. D'où (EO) perpendiculaire à (BD).
O milieu de [BD] donc $\text{BO} = \dfrac{\text{BD}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cm.
Dans le triangle BEO rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore :
$\text{BE}^2 = \text{BO}^2 + \text{EO}^2$ donc : $\text{EO}^2 = \text{BE}^2 - \text{BO}^2$
$\text{EO}^2 = (4\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2$
$\text{EO}^2 = 72$
$\text{EO} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm

4. $V_{\text{EABCD}} = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{ABCD}} \times \text{EA}$
$V_{\text{EABCD}} = \dfrac{1}{3} \times \text{BC}^2 \times \text{EA}$
$V_{\text{EABCD}} = \dfrac{1}{3} \times 4^2 \times 8$
$V_{\text{EABCD}} = \dfrac{128}{3}$ cm³