Fiche de mathématiques
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Les fonctions

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exercice 1

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par x \mapsto 2x^2.
    a) Calculer les images par f des réels 0; \sqrt{2}; -4.
    b) Vérifier que \sqrt{2} et -\sqrt{2} ont pour image 4.
    c) Pourquoi -4 n'est-il l'image d'aucun réel ?
    d) Quels sont les réels qui ont \dfrac{5}{4} pour image par f ?



exercice 2

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par :    x \mapsto x^2+3x+1
    a) Calculer les images par f des réels 0; 1; -\sqrt{3} ; \frac{1}{2}.
    b) Trouver tous les réels qui ont pour image 1 par f.



exercice 3

    a) Quel est l'ensemble de définition de la fonction x \mapsto x ?
    b) Quel est le réel pour lequel on ne peut pas calculer \dfrac{1}{x} ? Donnez alors l'ensemble de définition de la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} .
    c) Quels sont les réels pour lesquels on peut calculer \sqrt{x} ? Donnez alors l'ensemble de définition de la fonction x \mapsto \sqrt{x} .
    d) Compléter les phrases:
" Pour calculer \dfrac{1}{\sqrt{x}} , on commence par calculer \sqrt{x} ; il faut donc que x...........
Puis on calcule son inverse \dfrac{1}{\sqrt{x}} ; il faut donc que \sqrt{x} \neq 0, donc x................... "
Donner l'ensemble de définition de la fonction x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} .



exercice 4 - Location de voiture

Une agence propose deux types de contrat de location d'une voiture pour une journée :
   Premier type : 200 francs de forfait et 1 franc par kilomètre.
   Deuxième type : 100 francs de forfait et 1,50 franc par kilomètre.
Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f1(x) pour le premier type de contrat, et f2(x) pour le second.
    a) Donner les expressions de f1(x) et f2(x). Construire dans un même repère les représentations graphiques de ces fonctions pour x compris entre 0 et 500.
    b) Indiquer, en utilisant le graphique, le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus.
    c) Retrouver et préciser ces résultats par le calcul.



exercice 5 - Géométrie

On dispose d'un carré de métal de 20cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté a et on relève les bords par pliage.
cinq exercices pour poser les bases sur l'étude de fonctions - seconde : image 2

    a) Exprimer le volume V = f(a) de cette boîte en fonction de a.
    b) Les réels -1 et 2,3 sont-ils dans l'ensemble de définition de cette fonction f ?



exercice 1

a) Pour tout x\in\mathbb{R}, f(x)=2x^2
f(0)=2\times0=0\\f(\sqrt{2})=2\times(\sqrt{2})^2=2\times2=4\\f(-4)=2\times(-4)^2=2\times16=32

b)
f(\sqrt{2})=2\times(\sqrt{2})^2=2\times2=4\\f(-\sqrt{2})=2\times(-\sqrt{2})^2=2\times2=4
On a donc bien f(\sqrt{2})=f(-\sqrt{2})

c) La fonction f associe à tout réel x un réel égal à 2x^2. Or un carré est toujours positif, donc -4 ne peut être l'image d'aucun réel x par la fonction f.

d) On cherche les x tels que f(x)=\dfrac{5}{4}
f(x)=\dfrac{5}{4} \Longleftrightarrow 2x^2=\dfrac{5}{4}
Il faut donc résoudre l'équation 2x^2=\dfrac{5}{4}
2x^2=\dfrac{5}{4}
x^2=\dfrac{5}{8}
x=\sqrt{\dfrac{5}{8}} ou x=-\sqrt{\dfrac{5}{8}}
x=\sqrt{\dfrac{5}{2\times4}} ou x=-\sqrt{\dfrac{5}{2\times4}}
x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}} ou x=-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{2}}



exercice 2

a) Pour tout réel x, f(x) = x^2 + 3x + 1
f(0) = 0^2 + 3\times0 + 1 = 1
f(1) = 1^2 + 3\times1 + 1  = 5
f\left(-\sqrt{3}\right) = \left(-\sqrt{3}\right)^2 + 3 \times \left(-\sqrt{3}\right) + 1 = 3 - 3\sqrt{3} + 1 = 4 - 3\sqrt{3}
f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}+1 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{4}{4} = \dfrac{11}{4}

b) On cherche tous les réels x tels que f(x) = 1
f(x) = 1 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + 1 = 1

Résolvons donc cette équation :
x² + 3x + 1 = 1
x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0     ou     x = -3



exercice 3

a) La fonction f : x \mapsto x est définie pour tout x réel. On a donc :
Df = \mathbb{R}


b) Le réel \dfrac{1}{x} ne peut pas être calculé pour x = 0. L'ensemble de définition de la fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{x} est donc :
Df = ] -\infty ; 0 [ \cup ] 0 ; +\infty [


c) On peut calculer \sqrt{x} pour tout réel x \ge 0. L'ensemble de définition de la fonction f : x \mapsto \sqrt{x} est donc :
Df = [ 0 ; +\infty [


d) Pour calculer \dfrac{1}{\sqrt{x}}, on commence par calculer \sqrt{x} ; il faut donc que x soit positif ou nul.
Puis on calcule son inverse \dfrac{1}{\sqrt{x}}; il faut donc que \sqrt{x} \neq 0, donc x doit être strictement positif.
La fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} est donc définie sur ] 0 ; +\infty [.



exercice 4

a) Soit x le nombre de kilomètres effectués. Soit f(x) le prix total en francs.

f1(x) = Prix Forfait + Prix Kilométrage
f1(x) = Prix Forfait + Prix au Kilomètre × Nombre de Kilomètres

f1(x) = 200 + x

De la même manière :

f2(x) = 100 + 1,50x

b) Raisonnement graphique
cinq exercices pour poser les bases sur l'étude de fonctions - seconde : image 12

Jusqu'à 200 km, c'est le contrat 2 qui est le plus avantageux (la droite de f2(x) est en dessous ce celle de f1(x)).
Au delà de 200 km, c'est le contrat 1 qui devient plus avantageux (la droite de f1(x) est en dessous de celle de f2(x)).

c) Raisonnement par le calcul
Dans quel intervalle de x a-t-on f1(x) < f2(x) (contrat 1 plus avantageux) ?
f_1(x) < f_2(x)
f_1(x) - f_2(x) < 0
(200 + x) - (100 + 1,5x) < 0
200 + x - 100 - 1,5x < 0
100 - 0,5x < 0
0,5x > 100
x > \dfrac{100}{0,5}
x > 200

On voit donc bien que le contrat 1 est plus avantageux que le deux pour x > 200 (distance parcourue supérieure à 200km)

Pour montrer que f2(x) est plus avantageux que f1(x) pour x < 200, on procède de la même façon que précédemment.



exercice 5

a) Le volume de la boîte parallélépipédique est donné par :
V = L × l × h
avec L = l = 20 - 2a et h = a

V = a.(20 - 2a)²
V = a.(20² - 2 × 20 × 2a + (2a)²)
V = 4a³ - 80a² + 400a

b) a étant une longueur, on ne peut pas avoir a < 0. Donc -1 n'est pas dans l'ensemble de définition de V = f(a)

De même, d'un point de vue "physique", a ne peut pas être supérieur à 10 cm. 2,3 appartient donc à l'ensemble de définition de V = f(a)
L'ensemble de définition de V = f(a) est :
Df = ]0 ; 10[
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