Fiche de mathématiques

Fonctions trigonométriques

exercice 1

Démontrer que $1+\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$

exercice 2

On veut partager un cercle (de centre A) en six arcs égaux. Comment faire, avec un compas et sans rapporteur ?
On veut ensuite partager le même cercle en douze arcs égaux. Comment faire ?
Quelle est la mesure de chacun des arcs obtenus ?

B₀ est un des points de la division. On nomme Ax₀, Ax₁, ... , Ax_n les demi droites tracées (en tournant dans le sens positif) .

Construire le point B₁, projeté de B₀ sur Ax₁ , puis le point B₂ projeté de B₁ sur Ax₂ .
Continuer jusqu'à placer tous les points successifs de B₁ à B₁₂ .

On pose AB₀ = 1.
Calculer les longueurs AB₁ , AB₂ , .... , AB₁₂ .

Calculer la longueur de la ligne brisée B₀B₁B₂......B₁₂ .

exercice 3

Compléter le tableau :

$\alpha$ $\alpha$ en radians	0° 0	30° $\dfrac{\pi}{6}$ rad	45° $\dfrac{\pi}{4}$ rad	60° $\dfrac{\pi}{3}$ rad	90° $\dfrac{\pi}{2}$ rad
$\sin \alpha$
$\cos \alpha$
$\tan \alpha$

Démontrer ( grâce à des triangles particuliers bien choisis par exemple ) que ces valeurs sont exactes.

Correction

exercice 1

On veut démontrer que $1+\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$

On utilisera les formules :

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ et $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

On a donc :
$1 + \tan^2 \alpha = 1 + \left( \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 1 + \dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$

exercice 2

Figure : trois exercices sur les fonctions de trigonométrie : image 2

Obtenir six arcs égaux :
$\dfrac{360}{6} = 60$ donc il faut avoit des angles de 60° :
On trace des triangles équilatéraux pour avoir des angles de 60°

Obtenir douze arcs égaux :
Après avoir tracé les 6 demi-droites, on trace les bissectrices pour avoir des angles de 30° pour obtenir 12 arcs égaux.
On obtient 12 demi droites.
On a des angles de 30°

Calcul de AB₁ :
AB₀ = 1
$\cos 30° = \dfrac{AB_1}{AB_0}\\ AB_1 = \cos 30° \times 1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Calcul de AB₂ :
$\cos 30° = \dfrac{AB_2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
D'où : AB₂ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 30°$
$AB_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ AB_2 = \dfrac{3}{4}$

Calcul de AB₃ :
$\cos 30° = \dfrac{AB_3}{\dfrac{3}{4}}$
D'où : $AB_3 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt3}{8}$

Calcul de AB₄ :
De même pour AB₄ on a :
$AB_4 = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \cos 30 = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \times 3}{16} = \dfrac{9}{16}$

Calcul de AB₅, AB₆, AB₇, AB₈, AB₉, AB₁₀, AB₁₁, AB₁₂ :
On procède la même manière on a donc :
AB₅ = $\dfrac{9\sqrt{3}}{32}$ , AB₆ = $\dfrac{27}{64}$ , AB₇ = $\dfrac{27\sqrt{3}}{128}$ , AB₈ = $\dfrac{81}{256}$ , AB₉ = $\dfrac{81\sqrt{3}}{512}$ , AB₁₀ = $\dfrac{243}{1024}$ , AB₁₁ = $\dfrac{243\sqrt{3}}{2048}$ ,AB₁₂ = $\dfrac{729}{4096}$
On utilise les sinus et les longueurs obtenues précédemment; on obtient B₀,B₁,B₂,......B₁₂ On peut ainsi obtenir la longueur de la ligne brisée B₀B₁B₂......B₁₂.

Longueur de la ligne brisée: B₀B₁ + B₁B₂ + B₂B₃ + B₃B₄ + B₄B₅ + B₅B₆ + B₆B₇ + B₇B₈ + B₈B₉ + B₁₀B₁₁ +B₁₁B₁₂ = $\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{12}}{2-\sqrt{3}} \approx 3,07\text{ cm}$

exercice 3

$\alpha$ $\alpha$ en radians	0° 0	30° $\dfrac{\pi}{6}$ rad	45° $\dfrac{\pi}{4}$ rad	60° $\dfrac{\pi}{3}$ rad	90° $\dfrac{\pi}{2}$ rad
$\sin \alpha$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos \alpha$	1	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	0
$\tan \alpha$	0	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	Impossible

Demonstration des résultats su Tableau :
(On sait que les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaire, si on a le cosinus d'un angle on peut avoir le sinus par un simple calcul; à part quelques exeptions)

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AC=BC.
Comme cos 0° = $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et que AB = AC alors cos 0° = 1.

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme sin 0° = $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ alors sin 0° = 0.

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme tan 0° = $\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ alors tan 0° = 0.

Traçons un triangle équilatéral de coté a et sa hauteur h. Nous obtenons un angle de 30°.
D'après Pythagore, on a $\text{a}^2 = \left(\dfrac{\text{a}}{2}\right)^2 + \text{h}^2$ d'où $\text{h}^2 = \text{a}^2 - \dfrac{\text{a}^2}{4} = \dfrac{3\text{a}^2}{4}$ donc $\text{h} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}$ .
Or cos 30° = $\dfrac{\text{h}}{\text{a}} = {\dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{\text{a}}$ d'où cos 30° = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ on peut ainsi en déduire que sin 60° = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Dans un triangle rectangle isocèle, on a deux angles de 45°. On trace une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
Dans ce triangle, d'après le théorème de Pythagore, on a c² = 2h².
d'où h = $\dfrac{\text{c}}{\sqrt 2}$ = $\dfrac{\sqrt{c}\sqrt{2}}{2}$ .
Or cos 45° = $\dfrac{\text{h}}{\text{c}}$ = $\dfrac{\text{c}\sqrt{2}}{2} \time \dfrac{1}{\text{c}}$ = $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (d'où sin 45° = $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ).

Dans un triangle équilatéral de côté a, on trace une hauteur h.
On remarque que d'après le théorème de Pythagore, $\text{a}^2 = \text{h}^2 + \dfrac{\text{a}^2}{2}$ .
Or cos 60° = $\dfrac{\text{a}}{2} \time \dfrac{1}{\text{a}} = \dfrac{1}{2}$ (d'où sin 30° = $\dfrac{1}{2}$ ).

Dans un tiangle équilatéral de coté a, traçons une hauteur h. On a vu précedemment que, d'après le théorème de Pythagore, $\text{h} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}$ .
Or tan 60° = $\dfrac{\text{h}}{\dfrac{\text{a}}{2}} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2} \time \dfrac{2}{\text{a}} = \sqrt{3}$ .

Dans un triangle isocèle rectangle, traçons une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
tan 45° = $\dfrac{\text{h}}{\text{h}} = 1$ .

Dans un triangle équilatéral de côté a, et de hauteur h, tan 30° = $\dfrac{\dfrac{\text{a}}{2}}{\dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\text{a}}{\text{a}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Dans un triangle rectangle , sin 90° = $\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{hypoténuse}}$ = 1 puisque le coté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.
Comme l'angle droit n'a pas de côté adjacent, alors cos 90° = 0.