On veut partager un cercle (de centre A) en six arcs égaux. Comment faire, avec un compas et sans rapporteur ?
On veut ensuite partager le même cercle en douze arcs égaux. Comment faire ?
Quelle est la mesure de chacun des arcs obtenus ?
B0 est un des points de la division. On nomme Ax0, Ax1, ... , Axn les demi droites tracées (en tournant dans le sens positif) .
Construire le point B1, projeté de B0 sur Ax1 , puis le point B2 projeté de B1 sur Ax2 .
Continuer jusqu'à placer tous les points successifs de B1 à B12 .
On pose AB0 = 1.
Calculer les longueurs AB1 , AB2 , .... , AB12 .
Calculer la longueur de la ligne brisée B0B1B2......B12. Cette question est hors-programme en classe de seconde.
exercice 3
Compléter le tableau :
en radians
0°
0
30°
rad
45°
rad
60°
rad
90°
rad
Démontrer ( grâce à des triangles particuliers bien choisis par exemple ) que ces valeurs sont exactes.
Obtenir six arcs égaux : donc il faut avoit des angles de 60° :
On trace des triangles équilatéraux pour avoir des angles de 60°
Obtenir douze arcs égaux : Après avoir tracé les 6 demi-droites, on trace les bissectrices pour avoir des angles de 30° pour obtenir 12 arcs égaux.
On obtient 12 demi droites.
On a des angles de 30°
Calcul de AB1 : AB0 = 1
Calcul de AB2 :
D'où : AB2 =
Calcul de AB3 :
D'où :
Calcul de AB4 : De même pour AB4 on a :
Calcul de AB5, AB6, AB7, AB8, AB9, AB10, AB11, AB12 : On procède la même manière on a donc :
AB5 = , AB6 = , AB7 = , AB8 = , AB9 = , AB10 = , AB11 = ,AB12 =
On utilise les sinus et les longueurs obtenues précédemment; on obtient B0,B1,B2,......B12 On peut ainsi obtenir la longueur de la ligne brisée B0B1B2......B12.
Longueur de la ligne brisée (question hors programme en seconde) : B0B1 + B1B2 + B2B3 + B3B4 + B4B5 + B5B6 + B6B7 + B7B8 + B8B9 + B10B11 +B11B12 =
exercice 3
en radians
0°
0
30°
rad
45°
rad
60°
rad
90°
rad
0
1
1
0
0
1
Impossible
Demonstration des résultats su Tableau : (On sait que les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaire, si on a le cosinus d'un angle on peut avoir le sinus par un simple calcul; à part quelques exeptions)
Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AC=BC.
Comme cos 0° = et que AB = AC alors cos 0° = 1.
Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme sin 0° = alors sin 0° = 0.
Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme tan 0° = alors tan 0° = 0.
Traçons un triangle équilatéral de coté a et sa hauteur h. Nous obtenons un angle de 30°.
D'après Pythagore, on a d'où donc .
Or cos 30° = d'où cos 30° = on peut ainsi en déduire que sin 60° = .
Dans un triangle rectangle isocèle, on a deux angles de 45°. On trace une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
Dans ce triangle, d'après le théorème de Pythagore, on a c² = 2h².
d'où h = = .
Or cos 45° = = = (d'où sin 45° = ).
Dans un triangle équilatéral de côté a, on trace une hauteur h.
On remarque que d'après le théorème de Pythagore, .
Or cos 60° = (d'où sin 30° = ).
Dans un tiangle équilatéral de coté a, traçons une hauteur h. On a vu précedemment que, d'après le théorème de Pythagore, .
Or tan 60° = .
Dans un triangle isocèle rectangle, traçons une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
tan 45° = .
Dans un triangle équilatéral de côté a, et de hauteur h, tan 30° =
Dans un triangle rectangle , sin 90° = = 1 puisque le coté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.
Comme l'angle droit n'a pas de côté adjacent, alors cos 90° = 0.
Publié par Tom_Pascal
le
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