Fiche de mathématiques
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Fonctions trigonométriques

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Fiche relue en 2016

exercice 1

Démontrer que 1+\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}



exercice 2

On veut partager un cercle (de centre A) en six arcs égaux. Comment faire, avec un compas et sans rapporteur ?
On veut ensuite partager le même cercle en douze arcs égaux. Comment faire ?
Quelle est la mesure de chacun des arcs obtenus ?

B0 est un des points de la division. On nomme Ax0, Ax1, ... , Axn les demi droites tracées (en tournant dans le sens positif) .

Construire le point B1, projeté de B0 sur Ax1 , puis le point B2 projeté de B1 sur Ax2 .
Continuer jusqu'à placer tous les points successifs de B1 à B12 .

On pose AB0 = 1.
Calculer les longueurs AB1 , AB2 , .... , AB12 .

Calculer la longueur de la ligne brisée B0B1B2......B12. Cette question est hors-programme en classe de seconde.



exercice 3

Compléter le tableau :
\alpha
\alpha en radians

0
30°
\dfrac{\pi}{6} rad
45°
\dfrac{\pi}{4} rad
60°
\dfrac{\pi}{3} rad
90°
\dfrac{\pi}{2} rad
\sin \alpha          
\cos \alpha          
\tan \alpha          


Démontrer ( grâce à des triangles particuliers bien choisis par exemple ) que ces valeurs sont exactes.



exercice 1

On veut démontrer que 1+\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}

On utilisera les formules :
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 et \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}



On a donc :
1 + \tan^2 \alpha = 1 + \left( \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 1 + \dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sin^2  \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}



exercice 2

Figure :
trois exercices sur les fonctions de trigonométrie : image 2


Obtenir six arcs égaux :
\dfrac{360}{6} = 60 donc il faut avoit des angles de 60° :
On trace des triangles équilatéraux pour avoir des angles de 60°

Obtenir douze arcs égaux :
Après avoir tracé les 6 demi-droites, on trace les bissectrices pour avoir des angles de 30° pour obtenir 12 arcs égaux.
On obtient 12 demi droites.
On a des angles de 30°

Calcul de AB1 :
AB0 = 1
\cos 30° = \dfrac{AB_1}{AB_0}\\ AB_1 = \cos 30° \times 1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Calcul de AB2 :
\cos 30° = \dfrac{AB_2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
D'où : AB2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 30°
AB_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ AB_2 = \dfrac{3}{4}

Calcul de AB3 :
\cos 30° = \dfrac{AB_3}{\dfrac{3}{4}}
D'où : AB_3 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt3}{8}

Calcul de AB4 :
De même pour AB4 on a :
AB_4 = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \cos 30 = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \times 3}{16} = \dfrac{9}{16}

Calcul de AB5, AB6, AB7, AB8, AB9, AB10, AB11, AB12 :
On procède la même manière on a donc :
AB5 = \dfrac{9\sqrt{3}}{32} , AB6 = \dfrac{27}{64} , AB7 = \dfrac{27\sqrt{3}}{128} , AB8 = \dfrac{81}{256} , AB9 = \dfrac{81\sqrt{3}}{512} , AB10 = \dfrac{243}{1024} , AB11 = \dfrac{243\sqrt{3}}{2048} ,AB12 = \dfrac{729}{4096}
On utilise les sinus et les longueurs obtenues précédemment; on obtient B0,B1,B2,......B12 On peut ainsi obtenir la longueur de la ligne brisée B0B1B2......B12.

Longueur de la ligne brisée (question hors programme en seconde) : B0B1 + B1B2 + B2B3 + B3B4 + B4B5 + B5B6 + B6B7 + B7B8 + B8B9 + B10B11 +B11B12 = \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{12}}{2-\sqrt{3}} \approx 3,07\text{ cm}



exercice 3

\alpha
\alpha en radians

0
30°
\dfrac{\pi}{6} rad
45°
\dfrac{\pi}{4} rad
60°
\dfrac{\pi}{3} rad
90°
\dfrac{\pi}{2} rad
\sin \alpha 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos \alpha 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0
\tan \alpha 0 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} Impossible


Demonstration des résultats su Tableau :
(On sait que les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaire, si on a le cosinus d'un angle on peut avoir le sinus par un simple calcul; à part quelques exeptions)

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AC=BC.
Comme cos 0° = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} et que AB = AC alors cos 0° = 1.

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme sin 0° = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} alors sin 0° = 0.

Dans un triangle rectangle en A, si ACB = 0° alors A et B confondus ce qui induit AB=0.
Comme tan 0° = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} alors tan 0° = 0.

Traçons un triangle équilatéral de coté a et sa hauteur h. Nous obtenons un angle de 30°.
D'après Pythagore, on a \text{a}^2 = \left(\dfrac{\text{a}}{2}\right)^2 + \text{h}^2 d'où \text{h}^2 = \text{a}^2 - \dfrac{\text{a}^2}{4} = \dfrac{3\text{a}^2}{4} donc \text{h} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}.
Or cos 30° = \dfrac{\text{h}}{\text{a}} = {\dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{\text{a}} d'où cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} on peut ainsi en déduire que sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Dans un triangle rectangle isocèle, on a deux angles de 45°. On trace une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
Dans ce triangle, d'après le théorème de Pythagore, on a c² = 2h².
d'où h = \dfrac{\text{c}}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt{c}\sqrt{2}}{2}.
Or cos 45° = \dfrac{\text{h}}{\text{c}} = \dfrac{\text{c}\sqrt{2}}{2} \time \dfrac{1}{\text{c}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (d'où sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}).

Dans un triangle équilatéral de côté a, on trace une hauteur h.
On remarque que d'après le théorème de Pythagore, \text{a}^2 = \text{h}^2 + \dfrac{\text{a}^2}{2}.
Or cos 60° = \dfrac{\text{a}}{2} \time \dfrac{1}{\text{a}} = \dfrac{1}{2} (d'où sin 30° = \dfrac{1}{2}).

Dans un tiangle équilatéral de coté a, traçons une hauteur h. On a vu précedemment que, d'après le théorème de Pythagore, \text{h} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}.
Or tan 60° = \dfrac{\text{h}}{\dfrac{\text{a}}{2}} = \dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2} \time \dfrac{2}{\text{a}} = \sqrt{3}.

Dans un triangle isocèle rectangle, traçons une hauteur h.
On obtient ainsi un triangle isocèle et rectangle qui a pour côté h, h et c (hypothénuse).
tan 45° = \dfrac{\text{h}}{\text{h}} = 1.

Dans un triangle équilatéral de côté a, et de hauteur h, tan 30° = \dfrac{\dfrac{\text{a}}{2}}{\dfrac{\text{a}\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\text{a}}{\text{a}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Dans un triangle rectangle , sin 90° = \dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{hypoténuse}} = 1 puisque le coté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.
Comme l'angle droit n'a pas de côté adjacent, alors cos 90° = 0.
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