Fiche de mathématiques
> >

Trigonométrie

Partager :

exercice 1

x est un réel tel que sin x = \dfrac{1}{3}

1. Peux-tu en déduire cos x ?

2. On sait de plus que \dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi.
Trouver cos x et tan x.



exercice 2

1. Calculer \cos\left(\dfrac{65\pi}{4}\right).

2. Calculer \sin\left(\dfrac{-39\pi}{4}\right).



exercice 3

Sachant que \cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac12 \sqrt{2 + \sqrt{2}}, calculer le cosinus de -\dfrac{\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{3\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{5\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{9\pi}{8} ; \hspace{5pt} -\dfrac{325\pi}{8}.



exercice 1

1. On sait que cos² x + sin² x = 1 pour tout réel x.
Ainsi, cos² x = 1 - sin² x.
Donc : \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac{8}{9} \text{ soit } \cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \text{ ou } \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
On ne peut pas en savoir plus.

2. Sachant que x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right], alors -1 \leq \cos x \leq 0.
Donc d'après ce qui précède on peut écrire : \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
Puis \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}.



exercice 2


On commence par déterminer la mesure principale de l'angle, c'est-à-dire la mesure comprise dans ]-\pi\;;\pi]

1. \dfrac{65\pi}{4}=\dfrac{8\times 8\pi+\pi}{4}=8\times 2\pi+\dfrac{\pi}{4}.

\dfrac{\pi}{4} est la mesure principale de l'angle \dfrac{65\pi}{4} .

Comme pour tout entier relatif k ;  \cos (x+2k\pi)=\cos (x)

On obtient : \cos\left(\dfrac{65\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2. Procédons de même.

-\dfrac{39\pi}{4}=-\dfrac{40\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=-10\pi  +\dfrac{\pi}{4}=-5\times 2\pi +\dfrac{\pi}{4}.

\dfrac{\pi}{4} est la mesure principale de l'angle -\dfrac{39\pi}{4}

Par conséquent : \sin\left(-\dfrac{39\pi}{4}\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


exercice 3

cos(-x)=cos(x) ; cos(x+\pi/2)= -sin(x) ; cos(x+\pi) = -cos(x) ; cos(x+2\pi) = cos(x) ; cos(\pi-x) =-cos(x) ; cos(\pi/2-x) = sin(x).

Calculons \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right): \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4} et \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0 donc: \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{4\pi-\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{-325\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right) et \cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)=\cos\left(20\times \left(2\pi\right)+\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1224 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !