Fiche de mathématiques
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Trigonométrie

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exercice 1

x est un réel tel que sin x = \dfrac{1}{3}

1. Peux-tu en déduire cos x ?

2. On sait de plus que \dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi.
Trouver cos x et tan x.



exercice 2

1. Calculer \cos\left(\dfrac{65\pi}{4}\right).

2. Calculer \sin\left(\dfrac{-39\pi}{4}\right).



exercice 3

Sachant que \cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac12 \sqrt{2 + \sqrt{2}}, calculer le cosinus de -\dfrac{\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{3\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{5\pi}{8} ; \hspace{5pt} \dfrac{9\pi}{8} ; \hspace{5pt} -\dfrac{325\pi}{8}.



exercice 1

1. On sait que cos² x + sin² x = 1 pour tout réel x.
Ainsi, cos² x = 1 - sin² x.
Donc : \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac{8}{9} \text{ soit } \cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \text{ ou } \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
On ne peut pas en savoir plus.

2. Sachant que x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right], alors -1 \leq \cos x \leq 0.
Donc d'après ce qui précède on peut écrire : \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
Puis \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}.



exercice 2

Il faut commencer par déterminer la mesure principale de l'angle (c'est-à-dire la mesure comprise entre 0 et 2\pi).

1. \dfrac{65\pi}{4}=\dfrac{8\times 8\pi+\pi}{4}=8\times 2\pi+\dfrac{\pi}{4}. \pi/4 est la détermination principale de l'angle 65\pi/4 . Et cos(x+2k\pi)=cos(x) pour tout entier k. (la fonction cosinus est 2\pi-périodique).


cos(\dfrac{65\pi}{4})=cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2. tout d'abord remarquons que sin(-x)=-sin(x).
\dfrac{39\pi}{4}=\dfrac{8\pi\times 4 +4\pi + 3\pi}{4}=4\times (2\pi) + \pi +\dfrac{3\pi}{4}.
Par conséquent: \sin(\dfrac{39\pi}{4})=\sin(\pi+\dfrac{3\pi}{4})=-\sin(\dfrac{3\pi}{4}) car sin(x+\pi)=-sin(x).
Et alors: \sin(-\dfrac{39\pi}{4})=-\sin(\dfrac{39\pi}{4})=\sin(\dfrac{3\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}



exercice 3

cos(-x)=cos(x) ; cos(x+\pi/2)= -sin(x) ; cos(x+\pi) = -cos(x) ; cos(x+2\pi) = cos(x) ; cos(\pi-x) =-cos(x) ; cos(\pi/2-x) = sin(x).

Calculons \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right): \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4} et \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0 donc: \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{4\pi-\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}

\cos\left(\dfrac{-325\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right) et \cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)=\cos\left(20\times \left(2\pi\right)+\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}.
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