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Fiche de mathématiques



I. définition et propriétés

Définition :

Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
    * |x| = x si x supegal 0
    * |x| = -x si x infegal 0

Propriétés :

    *|-x|=|x|
    * racine (x²) = |x|
    * |xy| = |x| × |y|
    * |x/y| = |x|/|y| si y different 0

Inégalité du Triangle :

|x + y| infegal |x| + |y|

Propriétés :

Soit a > 0 et x réel, alors :
    * |x| = a equivaut x = a ou x = -a
    * |x| infegal a equivaut S = [-a; a]
    * |x| > a equivaut S = cours sur les valeurs absolues, les encadrements, les distances - seconde : image 1

II. Encadrements

Définition :

Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a infegal x infegal b.
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a

Valeur Approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x - a| infegal e

Définition :

Soient a et x deux réels et e > 0,
    * a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a infegal x infegal a + e
    * a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e infegal x infegal a

Propriétés :


    * Soit x tel que a infegal x infegal b, une valeur approchée de x est c = (a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x - c| infegal e.
    * Si x tel que a infegal x infegal b et que c infegal a infegal b infegal d alors on a : c infegal a infegal x infegal b infegal d
    * Si x tel que a infegal x infegal b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.

III. Rappels sur les distances

Définition :

La distance entre deux points A(xA) et B (xB) se calcule par :
d(A,B) = |xB - xA| (ou (|xA - xB|).

Propriétés :

On a les équivalences suivantes :
cours sur les valeurs absolues, les encadrements, les distances - seconde : image 2

    * d(x, a) infegal r
    * |x - a| infegal r
    * a - r infegal x infegal a + r
    * x appartient [a - r; a + r]






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