Valeurs absolues - Encadrements

I. définition et propriétés

Définition :

Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
     |x| = x si x 0
     |x| = -x si x 0

Propriétés :

    |-x|=|x|
     (x²) = |x|
     |xy| = |x| × |y|
     |x/y| = |x|/|y| si y 0

Inégalité du Triangle :

|x + y| |x| + |y|

Propriétés :

Soit a > 0 et x réel, alors :
     |x| = a x = a ou x = -a
     |x| a S = [-a; a]
     |x| > a S =

II. Encadrements

Définition :

Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a x b.
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a

Valeur Approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x - a| e

Définition :

Soient a et x deux réels et e > 0,
     a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a x a + e
     a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e x a

Propriétés :

     Soit x tel que a x b, une valeur approchée de x est c = (a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x - c| e.
     Si x tel que a x b et que c a b d alors on a : c a x b d
     Si x tel que a x b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.

III. Rappels sur les distances

Définition :

La distance entre deux points A(x_A) et B (x_B) se calcule par :
d(A,B) = |x_B - x_A| (ou (|x_A - x_B|).

Propriétés :

On a les équivalences suivantes :
     d(x, a) r
     |x - a| r
     a - r x a + r
     x [a - r; a + r]

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© Tom_Pascal & Océane 2006