Fiche de mathématiques
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Valeurs absolues - Encadrements

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I. définition et propriétés

Définition :
Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
     |x| = x si x \ge 0
     |x| = -x si x \le 0



Propriétés :
    |-x|=|x|
     \sqrt{x^2} = |x|
     |xy| = |x| × |y|
     |x/y| = |x|/|y| si y \neq 0



Inégalité du Triangle :
|x + y| \le |x| + |y|



Propriétés :
Soit a > 0 et x réel, alors :
     |x| = a \Longleftrightarrow x = a ou x = -a
     |x| \le a \Longleftrightarrow S = [-a; a]
     |x| > a \Longleftrightarrow S = ]-\infty,-\text{a}[\cup]\text{a};+\infty[




II. Encadrements

Définition :
Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a \le x \le b.
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a



Valeur Approchée :
Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x - a| \le e



Définition :
Soient a et x deux réels et e > 0,
     a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a \le x \le a + e
     a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e \le x \le a



Propriétés :
     Soit x tel que a \le x \le b, une valeur approchée de x est c = (a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x - c| \le e.
     Si x tel que a \le x \le b et que c \le a \le b \le d alors on a : c \le a \le x \le b \le d
     Si x tel que a \le x \le b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.




III. Rappels sur les distances

Définition :
La distance entre deux points A(xA) et B (xB) se calcule par :
d(A,B) = |xB - xA| (ou |xA - xB|).



cours sur les valeurs absolues, les encadrements, les distances - seconde : image 2
Propriétés :
On a les équivalences suivantes :
     d(x, a) \le r
     |x - a| \le r
     a - r \le x \le a + r
     x \in [a - r; a + r]

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