Fiche de mathématiques

Les Vecteurs

I.Vecteurs coplanaires

Soit $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ 3 vecteurs et A un point de l'espace.
Les points B,C,D sont tels que $\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{u}$ , $\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{v}$ , $\overrightarrow{\text{AD}} = \vec{w}$ .
Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont dits coplanaires si les points A,B,C,D sont coplanaires.

Trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ de l'espace sont coplanaires, si et seulement si, il existe un couple (a,b) de nombres réels tel que :

soit $\vec{u}$ = a $\vec{v}$ + b $\vec{w}$

soit $\vec{v}$ = a $\vec{u}$ + b $\vec{w}$

soit $\vec{w}$ = a $\vec{u}$ + b $\vec{v}$

II. Base de l'espace

On appelle base de l'espace tout triplet ( $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ) de vecteurs non coplanaires

III. Repère cartésien de l'espace

Tout quadruplet (O, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ), où O est un point de l'espace et ( $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ) une base, est un repère de l'espace.

1) Coordonnées d'un point

x = abscisse, y = ordonnée, z = côte

2) Coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$

$\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\boxed{(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)}$

3) Coordonnées du milieu I d'un segment [AB]

I a pour coordonnées $\boxed{\left(\dfrac{x_B+x_A}{2};\dfrac{y_B+y_A}{2};\dfrac{z_B+z_A}{2}\right)}$

IV. Distance de deux points

La distance des points A et B est le nombre réel positif :
$\boxed{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}}$

V. Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{V}} (X,Y,Z)$ et $\overrightarrow{\text{V}'} (X',Y',Z')$ sont orthogonaux si et seulement si :
$\boxed{XX'+YY'+ZZ'=0}$

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