Fiche de mathématiques
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Vecteurs et repères de l'espace

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exercice 1

Soit le cube ABCDEFGH suivant :
cinq exercices sur les vecteurs et les bases - seconde : image 1

1. Les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC} sont ils coplanaires ?

2. Les vecteurs \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{HD} sont ils coplanaires ?

3. Les vecteurs \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{BC} sont ils coplanaires ?



exercice 2

1. Les vecteurs \overrightarrow{V} (3 ; 6 ; 12) et \overrightarrow{V'} (2 ; 4 ; 8) sont ils colinéaires ?

2. Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{V} + \overrightarrow{V'} ?

3. Quelles sont les coordonnées du vecteur 2\overrightarrow{V} - 5\overrightarrow{V'} ?



exercice 3

Les points A et B ont pour coordonnées respectives (3 ; 5 ; -2) et (4 ; -3 ; 1).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.

2. Calculer les coordonnées du point I, milieu de [AB].



exercice 4

Soient A(2,4,-7) et B (-2,1,-1). Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.



exercice 5

Dans la base orthonormale (\vec{i},\vec{j},\vec{k}), les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} ont pour coordonnées respectives
(1 ; -2 ; 3) ; (2 ; 4 ; 2) ; (-1 ; 2 ; 1) .

1. Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont ils orthogonaux ?

2. Les vecteurs \vec{u} et \vec{w} sont ils orthogonaux ?



exercice 1

1. \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC} sont coplanaires. Plan (ABD)

2. \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{HD} sont coplanaires. Plan (AEF)

3. \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{BC} ne sont pas coplanaires.



exercice 2

1. \overrightarrow{V'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{V} donc les vecteurs \overrightarrow{V} et \overrightarrow{V'} sont colinéaires.

2. \overrightarrow{V} + \overrightarrow{V'} \left(x_{\overrightarrow{V}}+x_{\overrightarrow{V'}} ; y_{\overrightarrow{V}}+y_{\overrightarrow{V'}} ; z_{\overrightarrow{V}}+z_{\overrightarrow{V'}}\right)
\overrightarrow{V} + \overrightarrow{V'} \left(3+2 ; 6+4 ; 12+8\right)
\overrightarrow{V} + \overrightarrow{V'} \left(5 ; 10 ; 20\right)

3. 2\overrightarrow{V} - 5\overrightarrow{V'}\left(2x_{\overrightarrow{V}}-5x_{\overrightarrow{V'}} ; 2y_{\overrightarrow{V}}-5y_{\overrightarrow{V'}} ; 2z_{\overrightarrow{V}}-5 z_{\overrightarrow{V'}}\right)
2\overrightarrow{V} - 5\overrightarrow{V'}\left(2\times 3-5\times 2 ; 2\times 6-5\times 4 ; 2\times 12-5\times 8\right)
2\overrightarrow{V} - 5\overrightarrow{V'}\left(-4 ; -8 ; -16\right)



exercice 3

1. \overrightarrow{\text{AB}}\left(x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A\right)
\overrightarrow{\text{AB}}\left(4-3 ; -3-5 ; 1-(-2)\right)
\overrightarrow{\text{AB}}\left(1 ; -8 ; 3\right)

2. \text{I}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)
\text{I}\left(\dfrac{3+4}{2} ; \dfrac{5-3}{2} ; \dfrac{-2+1}{2}\right)
\text{I}\left(\dfrac{7}{2} ; 1 ; \dfrac{-1}{2}\right)



exercice 4

AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}
AB=\sqrt{(2+2)^2+(4-1)^2+(-7+1)^2}
AB=\sqrt{16+9+36}
AB=\sqrt{61}



exercice 5

On se place dans un repère orthonormée d'orogine O(0;0)
Posons A, B et C respectivement les points de coordonnées (1 ; -2 ; 3) (2 ; 4 ; 2) et (-1 ; 2 ; 1).

On a alors \vec{u}=\overrightarrow{OA} ; \vec{v}=\overrightarrow{OB} ; \vec{w}=\overrightarrow{OC}

1. Dans le triangle AOB, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOB est rectangle.
AB^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2\\AB^2=(1-2)^2+(-2-4)^2+(3-2)^2\\AB^2=38
OA^2+OB^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2+(z_B-z_O)^2]\\OA^2+OB^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(2-0)^2+(4-0)^2+(2-0)^2]\\OA^2+OB^2=38
AB^2=OA^2+OB^2
Le triangle ABO est rectangle en O donc les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.

2. Dans le triangle AOC, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOC est rectangle.
AC^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2\\AC^2=(1-(-1))^2+(-2-2)^2+(3-1)^2\\AC^2=24
OA^2+OC^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2+(z_C-z_O)^2]\\OA^2+OC^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(-1-0)^2+(2-0)^2+(1-0)^2]\\OA^2+OC^2=20
AC^2\neq OA^2+OC^2
Le triangle AOC n'est pas rectangle donc les vecteurs \vec{u} et \vec{w} ne sont pas orthogonaux.
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