I. Division euclidienne

La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c'est la division vue à l'école primaire).
Voici la division euclidienne de 85 par 3 :

Signification : 85 = 3 × 28 + 1
Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1.

Remarquons que le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.

II. Diviseurs et multiples d'un nombre

Vocabulaire :
On dit que : d divise m
ou encore que : m est divisible par d
ou encore que : m est un multiple de d

Exemple : 98 = 7 × 14
7 est un diviseur de 98.

Remarque : On dira que 98 est un multiple de 7.
1 est un diviseur de tous les nombres.

III. Diviseur commun

Exemple :
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30.
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24.
Les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 divisent les nombres 60 et 48. Ce sont des diviseurs communs à 60 et 48.

Exemple :
Le plus grand diviseur commun à 60 et 48 est 12. On note alors : PGCD (60 ; 48) = 12.

Algorithmes :
Algorithme des soustractions successives :


Algorithme d'Euclide :

IV. Nombres premiers entre eux

Exemple :
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.
Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28
Donc : PGCD(15 ; 28) = 1
Les nombres 15 et 28 sont premiers entre eux.

V. Fraction irréductible

Dans ce cas, on ne peut pas la réduire, elle est simplifiée au maximum.

Exemple :
Au paragraphe précédent, nous avons vu que 15 et 28 sont premiers entre eux. Donc la fraction est irréductible.