Fiche de mathématiques

Calculs numériques
Rappels

I. Nature des nombres

1. Les nombres entiers

a) On peut compter des objets : 0 (il n'y a pas d'objet à compter), 1, 2, 3, 4, .... C'est ce qu'il y a de plus naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels.

b) Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la température descend en dessous de 0°C, on plonge en dessous du niveau de la mer, . . . On introduit ainsi les nombres négatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ...
Les entiers négatifs et positifs forment l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Un nombre n'est pas toujours entier. On peut le fractionner et il arrive qu'on obtienne des nombres qui ne soient pas entiers et appartiennent à une nouvelle famille.

Exemple :
Quand on partage un entier on peut obtenir :
    un nombre entier : $\dfrac{32}{8}=4$
    un nombre décimal : $\dfrac{5}{2}=2,5$     $\dfrac{7}{100}=0,07$
    un nombre qui n'est pas décimal : $\dfrac{5}{3}=1,666...$

2. Les nombres décimaux

Définition :

Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10 (1, 10, 100, 1000...). Il est égal à une fraction de la forme $\dfrac{a}{10^p}$ où $a$ est un nombre entier relatif et $p$ un entier naturel.

Remarque :
Dans la pratique, les nombres décimaux sont les nombres dont l'écriture à virgule a un nombre fini de chiffres.

Exemples :
    -10,41 est un nombre décimal car -10,41 = $\dfrac{1041}{100}$ ;
    $\dfrac{8}{25}$ est un nombre décimal car $\dfrac{8}{25}=\dfrac{8\times4}{25\times4}=\dfrac{32}{100}$ ;
    5 est aussi un nombre décimal car 5 = $\dfrac{5}{1}$

Propriété :

Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.

3. Les nombres rationnels

Définition :

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs et $b$ différent de 0.

Exemples : $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{4}{5}$ ; 5 ; ...

Remarque :
Ce n'est pas parce qu'il y a une notation fractionnaire que c'est forcément un nombre rationnel.
$\dfrac{\pi}{2}$ n'est pas un nombre rationnel.

Propriété :

Tous les nombres décimaux sont rationnels.

4. Les irrationnels

Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels.

Exemples :
$\pi$ ; $2\piR$ ; $\sqrt{2}$ (diagonale du carré de côté 1)

Attention :
$\dfrac{4\pi}{3\pi}$ est un nombre rationnel car $\dfrac{4\pi}{3\pi}=\dfrac{4}{3}$

Exercice :
Indiquer à quel(s) ensemble(s) appartient chacun des nombres suivants.
0 ; -4 ; 18 ; $\dfrac{4}{3}$ ; $\dfrac{9}{10}$ ; $\dfrac{17}{6}$ ; $\dfrac{9}{3}$ ; $\pi$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{-3}{1}$ ; $\dfrac{-21}{2}$ ; $\dfrac{2}{21}$ ; $\dfrac{-21}{7}$ ; $\dfrac{4\pi}{3}$ Calculs numériques Rappels - troisième : image 1

Calculs numériques Rappels - troisième : image 1

Correction : Calculs numériques Rappels - troisième : image 2

II. Priorités opératoires

1. Calculs sans parenthèses

Propriété :

Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Exemples :

$B=2,4+\underbrace{3\times5}$	$C=11-\underbrace{12:3}$
$B=2,4+15$	$C=11-4$
$B=17,4$	$C=7$

2. Calculs avec parenthèses

Propriété :

Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.

Exemples :

$A=(4\times3-5)+2\times(7-1)$	$D=(20-4\times3)\times2-0,1\times(7-1)$	$E=[(4+6)\times2][(3-7)\times5]$
$A=(12-5)+2\times6$	$D=(20-12)\times2-0,1\times6$	$E=(10\times2)(-4\times5)$
$A=7+12$	$D=8\times2-0,6$	$E=20\times(-20)$
$A=19$	$D=16-0,6$	$E=-400$
	$D=15,4$

III. Nombres relatifs

1. Addition de deux nombres relatifs

Propriété :

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

on garde le signe commun ;

on additionne leur distance à zéro.

Exemples :
(+3,4) + (+7,1) = 10,5 c'est-à-dire 3,4 + 7,1 = 10,5
(-7,2) + (-4,1) = -11,3 c'est-à-dire -7,2 - 4,1 = -11,3

Propriété :

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;

on soustrait les distances à zéros.

Exemples :
(+ 4) + (-7,1) = -3,1     c'est-à-dire 4 - 7,1 = -3,1
(-3,4) + (+18) = 14,6     c'est-à-dire -3,4 + 18 = 14,69

Remarque :
La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.
(+ 4) + (- 4) = 0     c'est-à-dire 4 - 4 = 0

2. Soustraction de deux nombres relatifs

Propriété :

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Exemples :
(+ 3) - (+ 7) = (+ 3) + (- 7) = -4 c'est-à-dire 3 - 7 = - 4
(-7) - (- 4) = (- 7) + (+ 4) = -3 c'est-à-dire -7 + 4 = - 3

3. Multiplication de deux nombres relatifs

Propriété :

Pour multiplier deux nombres relatifs :

On applique la règle des signes :
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.

On multiplie les distances à zéro.

Exemples : $(-3)\times7=-21 \\ (-7)\times(-4)=+28$

4. Division de deux nombres relatifs

Propriété :

Pour diviser deux nombres relatifs :

on applique la règle des signes ;

on divise les distances à zéro.

Exemples :
$-6,4 : 2 = -3,2$ ou $\dfrac{-6,4}{2} = -3,2$
$-9 : (-3) = 3$ ou $\dfrac{-9}{-3} = 3$

Application : Calculer : C = 30 - 2 $\times$ (-5) $\times$ (- 4) + 5 - 2 $\times$ (14 - 8 $\times$ 2)
C = 30 - 2 $\times$ (-5) $\times$ (- 4) + 5 - 2 $\times$ (14 - 8 $\times$ 2)
C = 30 - 40 + 5 - 2 $\times$ (14 - 16)
C = 30 - 40 + 5 - 2 $\times$ (-2)
C = 30 - 40 + 5 + 4
C = -10 + 9
C = -1

IV. Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

1. Quotients égaux

Propriété :

Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas si l'on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Pour tous nombres $a$ , $b$ et $k$ (avec $b$ , $k$ non nuls) :
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a : k}{b : k}$

Exemples :
a) $\dfrac{3,1}{4} = \dfrac{3,1\times10}{4\times10} = \dfrac{31}{40}$ [On peut transformer toute écriture fractionnaire en fraction.]
b) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\times5}{5\times5} = \dfrac{15}{25}$
c) $\dfrac{35}{15} = \dfrac{35:5}{15:5} = \dfrac{7}{3}$

2. Addition - Soustraction

Propriété :

Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire :

on réduit les nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur,

on additionne (ou on soustrait) les numérateurs,

on garde le dénominateur commun.
Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ ( $c$ non nul), $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$

Exemples :
$\dfrac{-9,5}{4}+\dfrac{3,5}{4} = \dfrac{-9,5+3,5}{4} = \dfrac{-5}{4}$
$\dfrac{-3}{7}-\dfrac{4}{3} = \dfrac{-3\times3}{7\times3}-\dfrac{4\times7}{3\times7} = \dfrac{-9}{21}-\dfrac{28}{21} = \dfrac{-9-28}{21} = \dfrac{-37}{21}$

3. Multiplication

Propriété :

Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire :

on multiplie les numérateurs entre eux,

on multiplie les dénominateurs entre eux.
Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ ( $c$ et $d$ non nuls), $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Exemple :
$\dfrac{4}{25}\times\dfrac{-15}{16} = -\dfrac{4\times15}{25\times16} = -\dfrac{4\times5\times3}{5\times5\times4\times4} = -\dfrac{3}{5\times4} = -\dfrac{3}{20}$

4. Inverse

L'inverse d'un nombre $a$ non nul est $\dfrac{1}{a}$
L'inverse d'un nombre $\dfrac{a}{b}$ est le nombre $\dfrac{b}{a}$ (avec $a$ et $b$ non nuls).

Exemples :
L'inverse de $\dfrac{1}{4}$ est 4.
L'inverse de $\dfrac{-3}{5}$ est $\dfrac{5}{-3}=-\dfrac{5}{3}$
L'inverse de $2\pi$ est $\dfrac{1}{2\pi}$

5. Division

Propriété :

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ ( $b$ ], $c$ et $d$ non nuls), $a:b = \dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$ et $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$

Exemples :

$T=\dfrac{4}{3}:\dfrac{8}{7}$	$U=\dfrac{\dfrac{-7}{25}}{\dfrac{49}{-5}}$
$T=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{7}{8}$	$U=\dfrac{-7}{25}\times\dfrac{-5}{49}$
$T=\dfrac{4\times7}{3\times8}$	$U=\dfrac{(-7)\times(-5)}{25 \times 49}$
$T=\dfrac{4\times7}{3\times4\times2}$	$U=\dfrac{7 \times 5}{5 \times 5 \times 7 \times 7}$
$T=\dfrac{7}{3\times2}$	$U=\dfrac{1}{35}$
$T=\dfrac{7}{6}$

Application : Calculer :

$D=3+\dfrac{2}{5}-\dfrac{8}{15}$

$E=\dfrac{34}{40}\times\dfrac{27}{51}$

$F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{3}$

$G=\dfrac{8}{21}\div\dfrac{4}{7}$

Correction :

$D=3+\dfrac{2}{5}-\dfrac{8}{15}$	$E=\dfrac{34}{40}\times\dfrac{27}{51}$	$F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{3}$	$G=\dfrac{8}{21}\div\dfrac{4}{7}$
$D=\dfrac{3\times15}{1\times15}+\dfrac{2\times3}{5\times3}-\dfrac{8}{15}$	$E=\dfrac{34\times27}{40\times51}$	$F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5\times2}{4\times3}$	$G=\dfrac{8}{21}\times\dfrac{7}{4}$
$D=\dfrac{45}{15}+\dfrac{6}{15}-\dfrac{8}{15}$	$E=\dfrac{17\times2\times9\times3}{20\times2\times17\times3}$	$F=\dfrac{3\times3}{4\times3}-\dfrac{5\times2}{4\times3}$	$G=\dfrac{8\times7}{21\times4}$
$D=\dfrac{45+6-8}{15}$	$E=\dfrac{9}{20}$	$F=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}$	$G=\dfrac{4\times2\times7}{7\times3\times4}$
$D=\dfrac{43}{15}$		$F=\dfrac{9-10}{12}$	$G=\dfrac{2}{3}$
		$F=\dfrac{-1}{12}$

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