a) On peut compter des objets : 0 (il n'y a pas d'objet à compter), 1, 2, 3, 4, .... C'est ce qu'il y a de plus naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels.
b) Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la température descend en dessous de 0°C, on plonge en dessous du niveau de la mer, . . . On introduit ainsi les nombres négatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ...
Les entiers négatifs et positifs forment l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Un nombre n'est pas toujours entier. On peut le fractionner et il arrive qu'on obtienne des nombres qui ne soient pas entiers et appartiennent à une nouvelle famille.
Exemple : Quand on partage un entier on peut obtenir :
un nombre entier :
un nombre décimal :
un nombre qui n'est pas décimal :
2. Les nombres décimaux
Définition :
Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10 (1, 10, 100, 1000...). Il est égal à une fraction de la forme où est un nombre entier relatif et un entier naturel.
Remarque :
Dans la pratique, les nombres décimaux sont les nombres dont l'écriture à virgule a un nombre fini de chiffres.
Exemples : -10,41 est un nombre décimal car -10,41 =
est un nombre décimal car
5 est aussi un nombre décimal car 5 =
Propriété :
Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.
3. Les nombres rationnels
Définition :
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s'écrire sous la forme avec et des entiers relatifs et différent de 0.
Exemples : ; ; 5 ; ...
Remarque : Ce n'est pas parce qu'il y a une notation fractionnaire que c'est forcément un nombre rationnel.
n'est pas un nombre rationnel.
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
Exemples :
2. Calculs avec parenthèses
Propriété :
Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.
Exemples :
III. Nombres relatifs
1. Addition de deux nombres relatifs
Propriété :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
on garde le signe commun ;
on additionne leur distance à zéro.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
on soustrait les distances à zéros.
Pour multiplier deux nombres relatifs :
On applique la règle des signes :
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.
On multiplie les distances à zéro.
Exemples :
4. Division de deux nombres relatifs
Propriété :
Pour diviser deux nombres relatifs :
on applique la règle des signes ;
on divise les distances à zéro.
IV. Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire
1. Quotients égaux
Propriété :
Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas si l'on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Pour tous nombres , et (avec , non nuls) :
et
Exemples :
a) [On peut transformer toute écriture fractionnaire en fraction.]
b) c)
2. Addition - Soustraction
Propriété :
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire :
on réduit les nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur,
on additionne (ou on soustrait) les numérateurs,
on garde le dénominateur commun.
Pour tous nombres , , ( non nul), et
Exemples :
3. Multiplication
Propriété :
Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire :
on multiplie les numérateurs entre eux,
on multiplie les dénominateurs entre eux.
Pour tous nombres , , et ( et non nuls),
Exemple :
4. Inverse
L'inverse d'un nombre non nul est
L'inverse d'un nombre est le nombre (avec et non nuls).
Exemples : L'inverse de est 4.
L'inverse de est
L'inverse de est
5. Division
Propriété :
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Pour tous nombres , , et (], et non nuls), et
Exemples :
Application : Calculer :
Correction :
Publié par Cel/
le
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