Ecritures littérales

I. Développement (révisions)

Définition :
Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence.

Propriétés :
Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a :

produit		somme ou différence
k(a + b)	=	ka + kb
k(a - b)	=	ka - kb
(a + b)(c + d)	=	ac + ad + bc + bd

Exemple : Développer l'expression A = $\text{[math]}$ .
A = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
A = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

II. Identités remarquables

1. Carré d'une somme

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Démontrons ce résultat :

par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

ABCD est un carré de côté a + b, AEFG est un carré de côté a, FHCI est un carré de côté b, EBHF et GFID sont deux rectangles de largeur a et de longueur b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire $\text{[math]}$ du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a + b, donc $\text{[math]}$ = (a + b)²
ou :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = a² + a × b + b² + a × b
$\text{[math]}$ = a² + 2ab + b²
D'où : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemples :
Développer :
$\text{[math]}$

Calculer :
11² = (10 + 1)² = 10² + 2 × 10 × 1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121
13² = (10 + 3)² = 10² + 2 × 10 × 3 + 3² = 100 + 60 + 9 = 169
22² = (20 + 2)² = 20² + 2 × 20 × 2 + 2² = 400 + 80 + 4 = 484
101² = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

2. Carré d'une différence

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Démontrons ce résultat :

par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

EHCG est un carré de côté a, EIAF est un carré de côté b, ABCD est un carré de côté (a - b) et IHBA et ADGF sont deux rectangles de largeur b et de longueur (a - b).
Exprimons de deux manières différentes l'aire $\text{[math]}$ du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a - b, donc $\text{[math]}$ = (a - b)²
ou :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = a² - b² - b × (a - b) - b × (a - b)
$\text{[math]}$ = a² - b² - ba + b² - ba + b²
$\text{[math]}$ = a² - 2ab + b²
D'où : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemples :
Développer :
$\text{[math]}$

Calculer :
99² = (100 - 1)² = 10² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801

3. Produit d'une différence par une somme

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a² - b²

Démontrons ce résultat :

par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b = a² - b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

ABCD est un rectangle de longueur (a + b) et de largeur a, AEGF est un rectangle de largeur b et de longueur a, GHCI est un rectangle de longueur (a - b) et de largeur b et FGID est un carré de côté b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire $\text{[math]}$ du rectangle EBCI :
EBCI est un un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (a - b), donc $\text{[math]}$ = (a - b)(a + b)
ou :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = a(a + b) - ba - b²
$\text{[math]}$ = a² + ab - ab - b²
$\text{[math]}$ = a² - b²
D'où : (a - b)(a + b) = a² - b²

Exemples :
Développer :
$\text{[math]}$

Calculer :
99 × 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100² - 1² = 10 000 - 1 = 9 999
21 × 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 20² - 1² = 400 - 1 = 399
32 × 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 30² - 2² = 900 - 4 = 896