Fiche de mathématiques
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Ecritures Littérales : développer, factoriser, identités remarquables

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Cours de maths de 3ème



Fiche relue en 2016
Pré requis
Tu auras besoin avant de travailler sur cette fiche de bien maîtriser le calcul littéral et en particulier la distributivité ainsi que la notion de factorisation. Dans tes calculs tu seras parfois amené à gérer les signes de tes expressions. Il faut donc que tu saches appliquer les règles des signes.

Enjeu
Le but de ce chapitre est de te permettre de développer plus rapidement certaines expressions ou, au contraire, de pouvoir factoriser des expressions qui n'étaient, pour l'instant, pas factorisables. Tu retrouveras ensuite ces techniques de calcul tout le long du lycée. Il est donc important que tu saches identifier les identités remarquables quand tu les rencontres et qu'ensuite tu sois capable de les manipuler rapidement et correctement.

I. Développement (révisions)

Définition :
Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence.

Propriétés :
Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a :
produit   somme ou différence
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka - kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd



Exemple : Développer l'expression A = 4(2x + 1) + (3x - 1)(4x + 5).
A = 4(2x + 1) + \red (3x - 1)(4x + 5)
A = 4 \times 2x + 4 \times 1 + \red 3x \times 4x + 3x \times 5 - 1 \times 4x - 1 \times 5
\text{A} = 8x + 4 + 12x^2 + 15x - 4x - 5\\ \text{A} = 12x^2 + 19x - 1


II. Identités remarquables

1. Carré d'une somme

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Démontrons ce résultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
Identités remarquables, factorisation, développement - cours 3ème : image 1

ABCD est un carré de côté a + b, AEFG est un carré de côté a, FHCI est un carré de côté b, EBHF et GFID sont deux rectangles de largeur a et de longueur b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire \mathcal{A} du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a + b, donc \mathcal{A} = (a + b)²
ou :
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{AEFG}} + \mathcal{A}_{\text{EBHF}} + \mathcal{A}_{\text{FHCI}} + \mathcal{A}_{\text{GFID}}
\mathcal{A} = a² + a × b + b² + a × b
\mathcal{A} = a² + 2ab + b²
D'où : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemples :
Développer :
(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\\ (5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 + 30x + 9\\ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1

Calculer :
11² = (10 + 1)² = 10² + 2 × 10 × 1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121
13² = (10 + 3)² = 10² + 2 × 10 × 3 + 3² = 100 + 60 + 9 = 169
22² = (20 + 2)² = 20² + 2 × 20 × 2 + 2² = 400 + 80 + 4 = 484
101² = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

2. Carré d'une différence

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Démontrons ce résultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
Identités remarquables, factorisation, développement - cours 3ème : image 2

EHCG est un carré de côté a, EIAF est un carré de côté b, ABCD est un carré de côté (a - b) et IHBA et ADGF sont deux rectangles de largeur b et de longueur (a - b).
Exprimons de deux manières différentes l'aire \mathcal{A} du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a - b, donc \mathcal{A} = (a - b)²
ou :
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{EHCG}} - \mathcal{A}_{\text{EIAF}} - \mathcal{A}_{\text{IHBA}} - \mathcal{A}_{\text{ADGF}}
\mathcal{A} = a² - b² - b × (a - b) - b × (a - b)
\mathcal{A} = a² - b² - ba + b² - ba + b²
\mathcal{A} = a² - 2ab + b²
D'où : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemples :
Développer :
(x - 7)^2 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49\\ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9\\ (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9

Calculer :
99² = (100 - 1)² = 100² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801

3. Produit d'une différence par une somme de deux mêmes valeurs

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a² - b²

Démontrons ce résultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b = a² - b²

en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :
Identités remarquables, factorisation, développement - cours 3ème : image 3

ABCD est un rectangle de longueur (a + b) et de largeur a, AEGF est un rectangle de largeur b et de longueur a, GHCI est un rectangle de longueur (a - b) et de largeur b et FGID est un carré de côté b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire \mathcal{A} du rectangle EBCI :
EBCI est un un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (a - b), donc \mathcal{A} = (a - b)(a + b)
ou :
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{ABCD}} - \mathcal{A}_{\text{AEGF}} - \mathcal{A}_{\text{FGID}}
\mathcal{A} = a(a + b) - ba - b²
\mathcal{A} = a² + ab - ab - b²
\mathcal{A} = a² - b²
D'où : (a - b)(a + b) = a² - b²

Exemples :
Développer :
(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9\\ (5x - 3)(5x + 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9\\ (2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25

Calculer :
99 × 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100² - 1² = 10 000 - 1 = 9 999
21 × 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 20² - 1² = 400 - 1 = 399
32 × 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 30² - 2² = 900 - 4 = 896


III. Factorisation

Définition :
Factoriser une somme ou une différence, c'est la transformer en un produit.



1. Reconnaître un facteur commun

Exemples : Factorisons les expressions suivantes :
\text{B} = (x - 1)(x + 2) + (x - 1)(x + 3) \hspace{40pt} (x - 1) est le facteur commun
\text{B} = \boxed{(x - 1)}(x + 2) + \boxed{(x - 1)}(x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)[(x + 2) + (x + 3)]\\ \text{B} = (x - 1)(x + 2 + x + 3)\\ \text{B} = (x - 1)(2x + 5)

\text{C} = (5x + 3)(2x - 1) - (5x + 3)^2 \hspace{40pt} (5x + 3) est le facteur commun
\text{C} = \boxed{(5x + 3)}(2x - 1) - \boxed{(5x + 3)}(5x + 3)\\ \text{C} = (5x + 3)[(2x - 1) - (5x + 3)]\\ \text{C} = (5x + 3)(2x - 1 - 5x - 3)\\ \text{C} = (5x + 3)(-3x - 4)

\text{D} = (7x + 6)(3x - 5) - (3x - 5) \hspace{40pt} (3x - 5) est le facteur commun
\text{D} = (7x + 6)\boxed{(3x - 5)} - \boxed{(3x - 5)} \times 1\\ \text{D} = (3x - 5)[(7x + 6) - 1]\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 6 - 1)\\ \text{D} = (3x - 5)(7x + 5)

2. Reconnaître une identité remarquable

Exemples : Factorisons les expressions suivantes :
\text{E} = x^2 + 10x + 25
\text{E} = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 de la forme a² + 2 × a × b + b², avec a = x et b = 5, donc :
\text{E} = (x + 5)^2

\text{F} = 4x^2 - 28x + 49
\text{F} = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 7 + 7^2
F est de la forme a² - 2 × a × b + b², avec a = 2x et b = 7, donc :
\text{F} = (2x - 7)^2

\text{G} = x^2 - 36
\text{G} = x^2 - 6^2 de la forme a² - b², avec a = x et b = 6, donc :
\text{G} = (x - 6)(x + 6)

\text{H} = (4x + 3)^2 - (7x - 1)^2 de la forme a² - b² avec a = 4x + 3 et b = 7x - 1
\text{H} = [(4x + 3) - (7x - 1)][(4x + 3) + (7x - 1)]\\ \text{H} = (4x + 3 - 7x + 1)(4x + 3 + 7x - 1)\\ \text{H} = (-3x + 4)(11x + 2)
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