Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Polynésie Française - Session 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Écrire A sous la forme $\text{a}\sqrt{5}$ , où a est un nombre entier.
$\text{A} = \sqrt{500} + 7\sqrt{20} - 6\sqrt{45}$

exercice 2

L'histogramme ci-dessous donne les âges des 150 employés d'une entreprise.

Diplôme national du brevet - 2007 : image 1

1. Compléter le tableau ci-dessous.

Ages	20 $\leq$ Ages < 24	24 $\leq$ Ages < 28	28 $\leq$ Ages < 32	32 $\leq$ Ages < 36	36 $\leq$ Ages < 40	40 $\leq$ Ages < 44	Total
Centre de la classe	22
Effectifs
Fréquences en %

2. Quel est le pourcentage des employés qui ont strictement moins de 36 ans ?

3. Calculer l'âge moyen d'un employé de cette entreprise.

exercice 3

On considère l'expression : $\text{E} = 9x^2 - 25 + (3x - 5)(2x + 15)$

1. Développer et réduire l'expression E.

2. a) Factoriser $9x^2 - 25$ .
b) En utilisant la question a), factoriser l'expression E.

3. Résoudre l'équation $(3x - 5)(5x + 20) = 0$ .

exercice 4

1. Résoudre le système $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 25x+12y & 380 \\ x+y & 23 \\ \end{array} \right.$

2. Une pharmacie a commandé des bouteilles de 25 cL de jus de Noni et de 12 cL de monoï de Tahiti.
Cette commande a été livrée dans un carton contenant 23 bouteilles correspondant à un volume total de liquide de 380 cL.
Combien de bouteilles de jus de Noni a-t-elle reçu ?
Combien de bouteilles de monoï de Tahiti a-t-elle reçu ?

12 points

Activités géométriques

exercice 1

L'unité est le centimètre.
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Dans ce parallélépipède, on a construit le prisme droit AIJDLK dont une base est le triangle AIJ rectangle en I.

Diplôme national du brevet - 2007 : image 2

On donne : EF = 9 ; AD = 7 ; AE = 6 ; AI = 2.
Les droites (EF) et (IJ) sont parallèles.
La figure n'est pas en vraie grandeur.

1. Montrer que IJ = 3.

2. Calculer AJ en justifiant et arrondir au dixième.

3. Calculer le volume du prisme droit AIJDLK.
(Rappel : Volume $\scr{V}$ d'un prisme droit : $\scr{V} = \scr{B} \times h$ où $\scr{B}$ est l'aire de la base ; $h$ est la hauteur du prisme.

exercice 2

1. Tracer le triangle EFG isocèle en F, tel que EF = 6 cm et $\widehat{\text{EFG}} = 34^{\circ}$ .
Construire le point H symétrique du point G par rapport à F.
Construire le point K tel que $\overrightarrow{\text{FE}} = \overrightarrow{\text{GK}}$ .

2. Quelle est la nature du quadrilatère EFGK ?

3. Montrer que les points E, G et H sont situés sur un même cercle de centre F. Tracer ce cercle.

4. Démontrer que le triangle EGH est rectangle en E.

5. a) Montrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{FGE}}$ est égale à 73°.
b) Dans le triangle rectangle EGH, calculer EG, donner l'arrondi au dixième.

12 points

Problème

Teva roule en scooter et tout à coup, il aperçoit un piéton.
La distance de réaction est la distance parcourue entre le temps où Teva voit l'obstacle et le moment où il va ralentir ou freiner.
Teva est en bonne santé, il lui faut 1 seconde en moyenne pour réagir.

Première partie

1. Si teva roule à 54 km/h.
a) Quelle distance en mètre parcourt-il en une heure ?
b) Quelle distance en mètre parcourt-il en 1 seconde ?
En déduire la distance de réaction de Teva, s'il roule à 54 km/h.

2. On admettra que la distance de réaction se calcule avec la formule suivante :
D_R = V × $\dfrac{5}{18}$ où D_R est la distance de réaction en m et V est la vitesse en km/h.
Compléter le tableau suivant :

Vitesse en km/h	45	54	90	108
Distance de réaction en m

Deuxième partie

On appelle $x$ la vitesse à laquelle peut rouler un conducteur.

1. Exprimer en fonction de $x$ , la distance de réation $d(x)$ ?

2. a) Sur la feuille de papier millimétré, placer l'originie O en bas et à gauche.
Prendre pour unités : en abscisse, 1 cm pour 10 km/h ; en ordonnée, 1 cm pour 2 m.
    b) Dans le repère précédent, tracer la représentation graphique de la fonction $d$ définie par $d(x) = \dfrac{5}{18}x$ . (On pourra utiliser le tableau de la première partie).

3. Un conducteur roule à la vitesse de 30 km/h.
    a) Déterminer graphiquement la distance de réaction de ce conducteur.
(Onlaissera apparent les traits de construction).
    b) Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.
Le présenter sous forme de fraction irréductible, puis arrondir à l'unité.

4. En utilisant le graphique (on laissera les traits apparents), donner la vitesse à partir de laquelle la distance de réaction est supérieure à 20 m.

Voir la correction

Activités numériques

exercice 1

Calculons A :
$\text{A} = \sqrt{500} + 7\sqrt{20} - 6\sqrt{45}\\ \text{A} = \sqrt{100 \times 5} + 7\sqrt{4 \times 5} - 6 \sqrt{9 \times 5}\\ \text{A} = 10\sqrt{5} + 7 \times 2\sqrt{5} - 6 \times 3 \sqrt{5}\\ \text{A} = 10\sqrt{5} + 14\sqrt{5} - 18\sqrt{5}\\ \text{A} = 6\sqrt{5}$

exercice 2

1. Complétons le tableau :

Ages	20 $\leq$ Ages < 24	24 $\leq$ Ages < 28	28 $\leq$ Ages < 32	32 $\leq$ Ages < 36	36 $\leq$ Ages < 40	40 $\leq$ Ages < 44	Total
Centre de la classe	22	26	30	34	38	42
Effectifs	12	30	45	36	21	6	150
Fréquences en %	8	20	30	24	14	4	100

Rappel : fréquence en % = $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 100$

2. Pourcentage des employés qui ont strictement moins de 36 ans :
12 + 30 + 45 + 36 = 123 personnes sur 150 au total ont strictement moins de 36 ans.
Cela représente $\dfrac{123}{150} \times 100 \%$ .
82 % des personnes ont strictement moins de 36 ans.

3. Calculons l'âge moyen d'un employé de cette entreprise :
$\dfrac{22 \times 12 + 26 \times 30 + 30 \times 45 + 34 \times 36 + 38 \times 21 + 42 \times 6}{150} = \dfrac{4668}{150} = 31,12$
L'âge moyen d'un employé de cette entreprise est d'environ 31 ans.

exercice 3

1. Développons et réduisons l'expression E :
$\text{E} = 9x^2 - 25 + (3x - 5)(2x + 15)\\ \text{E} = 9x^2 - 25 + (3x \times 2x + 3x \times 15 - 5 \times 2x - 5 \times 15\\ \text{E} = 9x^2 - 25 + 6x^2 + 45x - 10x - 75\\ \text{E} = 15x^2 + 35x - 100$

2. a) Factorisons $9x^2 - 25$ :
On reconnaît une identité remarquable de la forme a² - b² :
$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$

2. b) Factorisons l'expression E :
$\text{E} = 9x^2 - 25 + (3x - 5)(2x + 15)\\ \text{E} = (3x - 5)(3x + 5) + (3x - 5)(2x + 15)\\ \text{E} = (3x - 5)[(3x + 5) + (2x + 15)]\\ \text{E} = (3x - 5)(3x + 5 + 2x + 15)\\ \text{E} = (3x - 5)(5x + 20)$

3. Résolvons l'équation $(3x - 5)(5x + 20) = 0$ :
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul, et réciproquement.
$\begin{array}{lcl} 3x-5 = 0 & \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & 5x + 20 = 0\\ 3x = 5 & \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & 5x = -20 \\ x = \dfrac{5}{3} & \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & x = -\dfrac{20}{5} = -4\\ \end{array}$
Les solutions de l'équation sont -4 et $\dfrac53$ .

exercice 4

1. Résolvons le système :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 25x+12y & 380 \:(1) \\ x+y & 23 \: (2) \\ \end{array} \right.$
Par substitution :
On exprime $x$ en fonction de y à l'aide de l'équation (2) : $x = 23 - y$
On remplace $x$ par $23 - y$ dans l'équation (1) :
$25(23 - y) + 12y = 380\\ 575 - 25y + 12y = 380\\ -13y = 380 - 575\\ -13y = -195\\ y = \dfrac{-195}{-13}\\ y = 15$
Donc : $x = 23 - y = 23 - 15 = 8$
La solution du système est le couple (8 ; 15).

ou par combinaisons :
On multiplie les deux membres de l'équation (2) par (-25), on obtient :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 25x+12y & 380 \\ -25x-25y & -575 \\ \end{array} \right.$
En additionnant membre à membre les deux équations du système, on obtient :
$12y - 25y = 380 - 575\\ -13y = -195\\ y = \dfrac{-195}{-13}\\ y = 15$

On multiplie les deux membres de l'équation (2) par (-12), on obtient :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 25x+12y & 380 \\ -12x-12y & -276 \\ \end{array} \right.$
En additionnant membre à membre les deux équations du système, on obtient :
$25x - 12x = 380-276\\ 13x = 104\\ x = 8$
La solution du système est le couple (8 ; 15).

2. Soit $x$ le nombre de bouteilles de jus de Noni et soit y le nombre de bouteilles de monoï.
La pharmacie a reçu 23 bouteilles, donc $x + y = 23$
La contenance totale des bouteilles est de 380 cL, donc : $25x + 12y = 380$
D'où le système : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 25x+12y & 380 \\ x+y & 23 \\ \end{array} \right.$
D'après la question précédente, la solution du système est le couple (8 ; 15)
La pharmacie a donc reçu 8 bouteilles de jus de Noni et 15 bouteilles de monoï.

Activités géométriques

exercice 1

1. Montrons que IJ = 3 :
Les droites (IE) et (JF) sont sécantes en A, les droites (IJ) et (EF) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{\text{AI}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AJ}}{\text{AF}} = \dfrac{\text{IJ}}{\text{EF}}$ Donc : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{\text{AJ}}{\text{AF}} = \dfrac{\text{IJ}}{9}$
De $\dfrac{2}{6} = \dfrac{\text{IJ}}{9}$ , on en déduit que :
$\text{IJ} = \dfrac{2 \times 9}{6} = 3$
Donc : le segment [IJ] mesure 3 cm.

2. Calculons AJ :
Dans le triangle AIJ rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore :
AJ² = AI² + IJ²
Donc : AJ² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
Donc : AJ = $\sqrt{13}$ cm
Donc : AJ $\approx$ 3,6 cm (arrondi au dixième).

3. Calculons le volume du prisme droit AIJDLK :
$\scr{V} = \scr{B} \times h = \dfrac{\text{AI} \times \text{IJ}}{2} \times \text{AD} = \dfrac{2 \times 3}{2} \times 7 = 21$
Donc le volume du prisme droit AIJDLK est de 21 cm³.

Publié par Cel le 30-11--0001

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