L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Diplôme National du Brevet
Centres Etrangers - Session 2007

Activités numériques (12 points)

 Exercice 1

1. a) Ecrire chacun des trois nombres sous la forme , avec a entier.
   b) On donne ; donner une écriture simplifiéee de A.

2. On pose :

B = 5² + 2 ² × 9

D = 5 × 103 - 2 × 10²

Donner l’écriture décimale de ces trois nombres.

 Exercice 2

1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578.

2. Ecrire sous forme d’une fraction irréductible.

 Exercice 3

On donne .

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour

4. Résoudre .

Activités géométriques (12 points)

 Exercice 1

Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).

1. Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A(-3 ; 1);   B(-2 ; 3);   C(2 ; 1).

2. Calculer la distance BC.

3. On admet que AB = et AC = 5.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].

5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur .

6. Calculer les coordonnées du vecteur .

7. Calculer les coordonnées du point N.

8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.

 Exercice 2

On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure.

L’unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = . Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés.

1. Déterminer une valeur de l’angle .

2. En déduire la longueur RS.

3. Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles.

4. Calculer la distance MS ; l’arrondir au mm.

Problème (12 points)

Première partie :

1. On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous :

   a) Calculer b.
   b) On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a.

2. On considère la fonction linéaire définie par : .
Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction .
On prendra un repère orthonormé ; l’origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unités.

Deuxième partie :
1. Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90).

2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB).

3. a) Résoudre le système
   b) Que représente le couple , solution de ce système, pour les droites d et (AB) ?

Troisième partie :
On dispose d’un ressort de 60 mm.
Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s’allonge de 10 mm.

1. On admet que l’allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée.
Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm.

2. Soit la masse suspendue en grammes.
Exprimer l’allongement du ressort en fonction de .

3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de .

4. Sachant que la masse volumique de l’or est 19,5 g/cm³, calculer la masse d’un cube en or de 2 cm d’arête.

5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort.
Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.

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