Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2007

Diplôme National du Brevet
Centres Etrangers - Session 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

Activités numériques (12 points)

exercice 1

1. a) Ecrire chacun des trois nombres $\sqrt{12}, \: \sqrt{27} \text{ et } \sqrt{75}$ sous la forme $\text{a}\sqrt{3}$ , avec a entier.
b) On donne $\text{A} = 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}$ ; donner une écriture simplifiéee de A.

2. On pose :

B = 5² + 2 ² × 9

$\text{C} = \frac{3^2}{4 + 2^2}$

D = 5 × 10³ - 2 × 10²

Donner l'écriture décimale de ces trois nombres.

exercice 2

1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578.

2. Ecrire $\frac{408}{578}$ sous forme d'une fraction irréductible.

exercice 3

On donne $\text{E} = 9 - (2x - 1)^2$ .

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour $x = \frac13$

4. Résoudre $(2 + 2x)(4 - 2x) = 0$ .

Activités géométriques (12 points)

exercice 1

Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).

1. Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A(-3 ; 1); B(-2 ; 3); C(2 ; 1).

2. Calculer la distance BC.

3. On admet que AB = $\sqrt{5}$ et AC = 5.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].

5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .

6. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .

7. Calculer les coordonnées du point N.

8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.

exercice 2

On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure.

Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 1

Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 1

L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = $2\sqrt{3}$ . Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés.

1. Déterminer une valeur de l'angle $\widehat{\text{PMN}}$ .

2. En déduire la longueur RS.

3. Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles.

4. Calculer la distance MS ; l'arrondir au mm.

Problème (12 points)

Première partie :

1. On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous :
Diplôme national du brevet Centres Etrangers - 2007 : image 2

a) Calculer b.
b) On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a.

2. On considère la fonction linéaire $f$ définie par : $f \: : \: x$ fleche2

$3,5x$ .
Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction $f$ .
On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unités.

Deuxième partie :
1. Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90).

2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB).

3. a) Résoudre le système $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 3,5x \\ y & 0,5x + 60 \\ \end{array} \right.$
b) Que représente le couple $(x \: ; \: y)$ , solution de ce système, pour les droites d et (AB) ?

Troisième partie :
On dispose d'un ressort de 60 mm.
Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s'allonge de 10 mm.

1. On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée.
Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm.

2. Soit $x$ la masse suspendue en grammes.
Exprimer l'allongement du ressort en fonction de $x$ .

3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de $x$ .

4. Sachant que la masse volumique de l'or est 19,5 g/cm³, calculer la masse d'un cube en or de 2 cm d'arête.

5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort.
Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.

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