Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2007

Diplôme National du Brevet
Asie - Session Juin 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

Activités numériques (12 points)

exercice 1

1. Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : $\text{A} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2}$ et $\text{B} = \dfrac{2\times 10^{-1}}{10^{-4} \times \left(10^2 \right)^3}$ .
2. Calculer C $= 5^3 - \left(2^4 + 3^3 \right)^2$ .

exercice 2

On donne l'expression suivante $D = (4x - 3)^2 - (3x + 1)(4x - 3)$ .

1. Développer et réduire $D$ .

2. Factoriser D.

3. a) Résoudre l'équation $(4x - 3)(x - 4) = 0$ .
b) Cette équation a-t-elle une solution entière ?
c) Cette équation a-t-elle une solution décimale ?

4. Calculer $D$ pour $x = 3$ .

exercice 3

1. Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le P.G.C.D. de 144 et 252.

2. Une organisation organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.
L'association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes.
a) Quel est le nombre maximal d'équipes que cette association peut former ?
b) Quelle est alors la composition de chaque équipe.

Activités géométriques (12 points)

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Diplôme national du brevet Asie Juin 2007 - troisième : image 1

Les points A,E et C sont alignés ainsi que les points B, E et D.
AE = 7,2 cm ; EC = 5,4 cm ;
ED = 7,5 cm et BE = 10 cm.

1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Sachant que CD = 6,3 cm, calculer AB.

exercice 2

La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur.
Diplôme national du brevet Asie Juin 2007 - troisième : image 2

Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M.

1. PAR est un triangle rectangle en A. On donne AR = 2 cm et RP = 4 cm.
Calculer AP et l'exprimer sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

2. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{RPA}}$ .

3. Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{RPA}}$ et $\widehat{\text{MPE}}$ ont la même mesure.

4. PME est un triangle rectangle en M. On donne ME = 3 cm.
Calculer PM à 1 mm près.

Problème (12 points)

Au cours d'une embauche pour la cueillette de pêches, un ouvrier agricole a le choix entre deux formules de salaire.
Formule A : un salaire mensuel de 930 €.
Formule B : une somme mensuelle de 310 € à laquelle s'ajoutent 40 € par tonne de pêches cueillies.
Formule C : un salaire uniquement basé sur la cueillette, 80 € par tonne de pêches cueillies.

1. Compléter le tableau suivant :

Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois	5	11	15
Salaire mensuel en euros avec la formule A
Salaire mensuel en euros avec la formule B

2. Si l'on appelle $x$ la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule.

3. Représenter graphiquement sur le quadrillage donné en annexe les fonctions définies par : $f(x) = 310 + 40x \quad$ et $\quad g(x) = 80x$ . On choisira comme unités :

1 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ;

1 cm pour 100 € sur l'axe des ordonnées.

4. a) Sachant que pour un mois donné, cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltées en tonnes (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
Donner une valeur approchée du résultat.
b) Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact.

5. Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l'ouvrier s'il espère cueillir 13 tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
Quel serait alors son salaire ?

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