Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Nouvelle Calédonie - Session Décembre 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Dans cette partie, les calculs devront être détaillés.
On considère les trois nombres A, B et C : $\text{A} = - \dfrac{5}{3} +\dfrac{7}{5} \quad \quad \text{B} = \dfrac{7}{4} \div \dfrac{21}{9} \quad \quad \text{C} = - 2 \times \left(60 - 5 \times 4^2 \right) - (8 - 15)$
1. Calculer A et B et donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

2. Calculer C.

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées et une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie, le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

		Réponses proposées}
1.	$x^2 - 16$ est égal à :	$( x - 4 )^2$	$( x - 4 )( x + 4 )$	$( x - 8 )^2$	$( x + 4 )^2$
2.	La valeur exacte de $\sqrt{80} + \sqrt{20}$ est :	$\sqrt{100}$	13,416	$6\sqrt{5}$	$8\sqrt{10} + 2\sqrt{10}$
3.	Un objet coûtant 1 200 F augmente de 5 %. Son nouveau prix est alors de :	60 F	1 205 F	1 200,50 F	1 260 F
4.	Sur une carte à l'échelle 1/25 000, la longueur d'une route est de 10 cm. La longueur réelle de cette route est :	2 500 cm	0,25 km	2,5 km	25 000 m
5	Le nombre qui est solution de l'équation : $5x - (7x + 4) = 8$ est :	- 2	- 6	6	2

exercice 3

Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche seront pris en compte.
Comment peut-on calculer astucieusement sans calculatrice $1\:999^2 - 1\:998^2$ ?
Expliquer rigoureusement votre démarche et donner la réponse.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Constructions :
a) Tracer un triangle PUR rectangle en R, tel que RU = 8 cm et UP =12 cm.
Placer le point E sur le segment [RU] tel que UE = 3 cm.
b) Tracer la perpendiculaire à (RU) passant par E. Elle coupe [UP] en N.

2. Calculer la longueur RP. Justifier. (On donnera une valeur arrondie au dixième).

3. Démontrer que les droites (EN) et (RP) sont parallèles.

4. Calculer la longueur UN. Justifier.

exercice 2

La distance entre le phare P du cap N'Doua et le ponton O de la tribu de Ouara est égale à environ 4,65 km. Un bateau B se trouve au large de ce ponton.

Le triangle OPB est rectangle en B et des visées ont permis d'établir que l'angle $\widehat{\text{OPB}}$ est égal à 30 °.

1. Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton O est égale à 2 325 m.

2. Sachant que le bateau B se déplace à 15,5 km/h, déterminer le temps (en minutes) qu'il lui faudra pour rejoindre le ponton O.
On rappelle que : vitesse $= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2007 - troisième : image 1

Cette figure est donnée à titre indicatif et n'est pas en vraie grandeur.

12 points

Problème

M. Robbie Ney, professeur de biologie, a chargé trois de ses élèves (Luc, Isabelle et Pierre), d'étudier l'évaporation de trois liquides de couleurs différentes : un rouge, un bleu et un vert.
Ils disposent d'une éprouvette graduée et remettent chacun leurs résultats à leur professeur.

Première partie : Étude du liquide rouge

Luc rend le graphique donné en annexe sur lequel il a relevé le niveau du liquide restant dans l'éprouvette au bout de plusieurs jours.

1. Quelle est la hauteur du liquide rouge au début de l'expérience ?

2. Quelle est la hauteur du liquide rouge au bout de 15 jours ?

3. Au bout de combien de jours le niveau du liquide a-t-il baissé du tiers par rapport à son niveau initial ?

4. Quelle est la hauteur de liquide évaporé au bout de 5 jours ?

Deuxième partie : Étude du liquide bleu

Isabelle, qui étudie le liquide bleu, remet à son professeur le tableau suivant comportant ses relevés :

Durée (en jours)	0	5	8	15
Hauteur du liquide restant dans l'éprouvette (en mm)	150	115	94	45

1. On note $x$ le nombre de jours et $f(x)$ la hauteur de liquide bleu, exprimée en mm, restant dans l'éprouvette. On admet que $f$ est une fonction affine.
En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement la fonction $f$ sur le graphique donné en annexe.

2. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ .

Troisième partie : Étude du liquide vert

Pierre qui étudie le liquide vert remet à son professeur la formule suivante : $y = - 8 x + 160$ ,
$y$ désignant la hauteur de liquide vert restant dans l'éprouvette (en mm) et $x$ le nombre de jours écoulés.

1. Quelle était la hauteur du liquide vert au début de l'expérience ?

2. Calculer le nombre de jours au bout desquels le liquide a baissé de moitié.

3. Représenter, sur le même graphique, la fonction $g$ définie par
$g : x \longmapsto - 8 x + 160$ .

Quatrième partie : Interprétation des résultats

1. Déterminer graphiquement la couleur du liquide qui va en premier complètement s'évaporer.

2. a) Résoudre par le calcul : $\left\lbrace\begin{array}{l cl} y&=&-7x + 150 \\ y&=&-8x + 160 \\ \end{array}\right.$
b) Interpréter le résultat trouvé au a).

ANNEXE DU PROBLÈME

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2007 - troisième : image 5

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Activités numériques

exercice 1

1. Mettons A et B sous forme de fraction irréductible :
$\text{A}=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{5}=-\dfrac{25}{15}+\dfrac{21}{15}=-\dfrac{4}{15}$
$\text{B}=\dfrac{7}{4}\div \dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{4}\times \dfrac{9}{21}=\dfrac{7\times 9}{4\times 21}=\dfrac{7\times 3\times 3}{4\times 3\times 7}=\dfrac{3}{4}$

2. $\text{C}=-2\times (60-5\times 4^2)-(8-15)=-2\times (60-5\times 16)-(-7)=-2\times (-20)+7=40+7=47$

exercice 2

1. $x^2-16=(x-4)(x+4)$

2. La valeur exacte de $\sqrt{80}+\sqrt{20}$ est $6\sqrt{5}$ .

3. Son nouveau prix est de 1260 F.

4. La longueur réelle de la route est de 2,5 km.

5. La solution de cette équation est -6.

exercice 3

Pour tous nombres a et b, on sait que $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . En appliquant cela avec a=1999 et b=1998, on obtient : $1999^2-1998^2=(1999-1998)(1999+1998)=1\times (1999+1998)=3997$ .

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2007 - troisième : image 3

2. Le triangle PUR est rectangle en R. D'après le théorème de Pythagore, $\text{RU}^2+\text{RP}^2=\text{UP}^2$ , donc $\text{RP}^2=\text{UP}^2-\text{RU}^2=12^2-8^2=144-64=80$ , d'où finalement $\text{RP}=\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=4\sqrt{5}$ . Une valeur arrondie au millimètre est : $\text{RP}\approx 8,9$ mm.

3. Les droites (EN) et (RP) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (RU) : elles sont donc parallèles.

4. Les points U, E et R sont alignés, ainsi que U, N et P. De plus, on vient de montrer que les droites (EN) et (RP) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité $\dfrac{\text{UN}}{\text{UP}}=\dfrac{\text{UE}}{\text{UR}}$ , d'où on tire $\text{UN}=\dfrac{\text{UE}\times\text{UP}}{\text{UR}}=\dfrac{3\times 12}{8}=4,5$ cm.

exercice 2

1. D'après l'énoncé, on sait que $\text{OP}=4,65$ et $\widehat{OPB}=30°$ . Le triangle OPB étant rectangle en B, on a : $\sin(\widehat{OPB})=\dfrac{\text{OB}}{\text{OP}}$ , donc $\text{OB}=\text{OP}\times \sin(\widehat{OPB})=4,65\times \sin(30°)=2,325$ km, c'est-à-dire 2325 mètres.

2. Le bateau avance à la vitesse de 15,5 km/h, et il a 2,325 km à parcourir. La formule $\text{vitesse} = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$ donne ici : $15,5=\dfrac{2,325}{\text{temps (en h)}}$ ; ainsi le temps du parcours est $t=\dfrac{2,325}{15,5}=0,15$ h, c'est-à-dire 9 minutes.

Problème

Première partie : Étude du liquide rouge

1. Au début de l'expérience, la hauteur du liquide rouge est de 120 mm.

2. Au bout de 15 jours, la hauteur est de 60 mm.

3. Le tiers du niveau initial correspond à une hauteur de 40 mm. Le liquide a donc baissé de 40 mm. Son niveau est donc de 120 - 40 = 80 mm. Cette hauteur est atteinte au bout de 10 jours.

4. Au bout de 5 jours, le niveau est de 100 mm : 20 mm se sont donc évaporés.

Deuxième partie : Étude du liquide bleu

1. Sur le graphique ci-dessous, la fonction f est représentée en bleu :

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2007 - troisième : image 4

2. La fonction f est affine, donc a une expression de la forme $f(x)=ax+b$ . Déterminons les réels a et b. Puisque $f(0)=150$ , on trouve que l'ordonnée à l'origine est $b=150$ . D'autre part $f(5)=115$ , donc en remplaçant : $5a+150=115$ , $5a=-35$ , et enfin $a=-7$ . Ainsi, $f(x)=-7x+150$ .

Troisième partie : Étude du liquide vert

1. Au début de l'expérience, la hauteur du liquide vert était de $-8\times 0+160=160$ mm.

2. Le liquide a baissé de moitié lorsque la hauteur est de 80 mm. Résolvons donc l'équation $-8x+160=80$ : on obtient $-8x=-80$ , donc $x=10$ . Ainsi, le liquide a baissé de moitié au bout de 10 jours.

3. Voir la figure précédente, où la fonction g est représentée en vert.

Quatrième partie : Interprétation des résultats

1. Le liquide qui s'évapore complètement le premier est le liquide correspondant à la fonction g : c'est le liquide vert, il est totalement évaporé au bout de 20 jours (alors que le liquide bleu est évaporé au bout d'environ 21 jours, et le liquide rouge au bout de 30 jours).

2. a) Résolvons le système $\left \lbrace \begin{array}{l} y=-7x+150 \\ y=-8x+160\\ \end{array} \right.$ .
On déduit d'abord que $-7x+150=-8x+160$ , donc que $-7x+8x=160-150$ , i.e. $x=10$ . En remplaçant cette valeur dans la première équation, on trouve $y=-7\times 10+150=-70+150=80$ .

2. b) Les valeurs $x=10$ et $y=80$ satisfont chacune des équations du système, qui sont les équations des représentations graphiques de f et g : ainsi, le point de coordonnées (10,80) est sur les deux droites : c'est leur point d'intersection. Ainsi, au bout de 10 jours, les liquides bleu et vert ont la même hauteur : 80 mm.

Publié par TP/critou le 28-06-2010

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