Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2007

Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Sud - Session Novembre 2007

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

Activités Numériques (12 points)

exercice 1

Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs.

1. On pose $\text{A} = \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \left(5 + \dfrac{1}{2}\right)$ . Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. On pose $\text{B} = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^7}{5 \times 10^2}$ . Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique.

3. On pose $\text{C} = 2\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + 3\sqrt{200}$ . Calculer C. Présenter le résultat sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.

exercice 2

On donne $E = (3x - 5)^2 - 2(3x - 5)$ .

1. Développer et réduire $E$ .

2. Factoriser $E$ .

3. Calculer $E$ pour $x = -2$ .

4. Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x - 7) = 0$ .

exercice 3

1. Résoudre le système d'équations ci-dessous $\left\lbrace\begin{array}{l c r} 4a + 8b &=& 12 \\ 2a + b &=& 2,70 \\ \end{array}\right.$
2. À la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6 €.
Dans la même boulangerie, Karim achète 2 croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €.
Quel est le prix d'un croissant ?
Quel est le prix d'un pain aux raisins ?

Activités Géométriques (12 points)

exercice 1

L'unité est le cm. Sur la figure ci-dessous, les longueurs ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure. Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 1

Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 1

On sait que les points Y, S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre.
On sait également que: (YX) // (AB) ; SA = 3 ; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4.

1. Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondir au mm.

2. On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.
Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

exercice 2

L'unité de longueur est le cm.
On considère le triangle SAB tracé sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.
Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA = 5 et SB = 12.

1. Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.

2. Déterminer la mesure de $\widehat{\text{SAB}}$ (arrondie au degré).

3. a) Placer le point R image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{SA}}$ .
b) Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle.

4. Placer le point M, tel que $\vect{\overrightarrow{AM}}= \overrightarrow{\text{AS}} + \overrightarrow{\text{AB}}$ .

Annexe (à rendre avec la copie)
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 3

Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 3

Problème (12 points)

L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle $\dfrac{1}{2}$ . Ne pas reproduire la figure. Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 2

Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 2

Partie A

Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10.
Soit T un point de (C) tel que RT = 6.

1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle.

2. Démontrer que TM = 8.

Partie B

Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM).
On pose RS $= x$ .

1. Donner un encadrement de $x$ .

2. Démontrer que RH $= \dfrac{5}{3}x$ et SH $= \dfrac{4}{3}x$ .

3. Exprimer, en fonction de $x$ , le périmètre du triangle RSH.

4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : $24 - \dfrac{4}{3}x$ .

Partie C

On considère les fonctions affines $f$ et $g$ telles que : $f \quad : x \longmapsto 4x \quad \quad \;$ et $\; \quad \quad g : x \longmapsto 24 - \dfrac{4}{3}x$ .
1. Calculer $f(0)$ , $f(6)$ , $g(0)$ et $g(6)$ .

2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement $f$ et $g$ dans un repère orthonormé

origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ;

unité le cm.

3. a) Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$ .
b) Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires.

4. Que représente la solution de l'équation $f(x) = g(x)$ pour la partie B de ce problème ?

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