Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2007

Diplôme National du Brevet
Nouvelle Calédonie - Mars 2008
Session Remplacement 2007

L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

Durée de l'épreuve : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Dans chaque cas, indiquer les étapes du calcul.

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée :

A $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}$

B $= \dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{9}$

2. Calculer : C $= 10 - [- 2 \times (2 -3)+5]$

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte.

		Réponses proposées
1.	Quelle est l'expression développée de : $2x(2x - 3)$ ?	$2x^2 - 6x$	$4x^2 - 3$	$4x^2 - 6x$	$10x^2$
2.	>Quelle est l'expression factorisé de : $x^2 - 100$ ?	$(x - 10)^2$	$(x - 10)(x + 10)$	$(x - 50)^2$	$(x - 50) (x + 50)$
3.	Quelles sont les solutions de : $(x - 4)(2x + 7) = 0$ ?	4 et $- \dfrac{7}{2}$	4 et $\dfrac{7}{2}$	4 et $- \dfrac{2}{7}$	4 et $\dfrac{2}{7}$
4.	Quelle est la valeur exacte de : $\sqrt{4 + 16}$ ?	10	6	$2\sqrt{5}$	4,47
5.	Le prix d'un article coûtant 1 200 F baisse de 5 % ; quel est son nouveau prix ?	60 F	1 260 F	1 195 F	1 140 F

exercice 3

Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche sera pris en compte.
Voici les distances (en km) qui séparent le soleil de trois planètes du système solaire :

Vénus : $105 \times 10^6$

Mars : $2 250 \times 10^5$

Terre : $1,5 \times 10^8$

Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifier.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm

1. a) Compléter la figure sur la feuille annexe fournie avec le sujet.
    b) Montrer que BC = 10 cm.

2. a) Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = 1,5 cm.
Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = 2,5 cm.
    b) Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
    c) Montrer que EF = 2 cm.

3. a) Placer le point B' symétrique de B par rapport à A sur la figure de l'annexe.
    b) Montrer que le triangle BB'C est isocèle en C.

ANNEXE
Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 3

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 3

À RENDRE AVEC LA COPIE

exercice 2

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 1

Un verre a une partie supérieure en forme de cône de révolution de sommet S, de hauteur [OS] telle que OS = 9 cm et de rayon [OA] tel que OA = 4 cm.

1. Montrer que le volume de ce verre, en cm³, est égal à $48\pi$ .

2. Avec un litre d'eau, combien de fois peut-on remplir entièrement ce verre ?

Formulaire : 1 litre = 1 dm³ = 1 000 cm³
Le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $R$ est : V $= \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

12 points

Problème

Partie I

Voici un tableau de proportionnalité donnant la vitesse exprimée en nœuds et la vitesse exprimée en mètres par seconde correspondante.

Vitesse mesurée en nœuds	...	1,028	1,285	1,542
Vitesse mesurée en m/s	1	2	...	3

Recopier et compléter ce tableau sur votre copie.

Partie II

Une barque traverse une rivière en partant d'un point A d'une rive pour arriver en un point B sur l'autre rive. Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 2

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 2

On suppose que :
ABC est rectangle en C.
mes $\widehat{\text{BAC}} = \alpha$

La traversée de A vers B s'effectue à la vitesse constante de 1,542 nœuds et dure 50 secondes.

1. Exprimer cette vitesse en m/s.

2. Montrer que la distance parcourue AB est de 150 m.

3. Sachant que $\alpha = 60°$ , calculer la largeur AC de la rivière.

Partie III

Les points A et B sont distants de 150 mètres.
Au même moment :

un nageur part de A et se dirige vers B, à vitesse constante de 1 m/s.

une pirogue part de B et se dirige vers A, à la vitesse constante de 1,028 noeuds.

1. a) À quelle distance du point A se trouve le nageur 50 s après son départ ?
    b) À quelle distance du point A se trouve la pirogue 50 s après son départ ?

2. On considère les fonctions $n$ et $p$ définies par : $n(x) = 1\cdot x$ et $p(x) = 150 - 2x$ ;
$n(x)$ est la distance (en m) séparant le nageur du point A en fonction du temps $x$ (en s) ;
$p(x)$ est la distance (en m) séparant la pirogue du point A en fonction du temps $x$ (en s).
    a) Représenter graphiquement les fonctions $n$ et $p$ , sur une feuille de papier millimétré, dans un même repère orthogonal, tel que : 1 cm représente 10 s sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 10 m sur l'axe des ordonnées. (On placera l'origine O du repère en bas et à gauche de la feuille)
    b) Déterminer, graphiquement, l'instant où le nageur et la pirogue vont se croiser. (On laissera apparents les traits de construction)

Formulaire : Si $v$ désigne la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée de parcours, alors : $v = \dfrac{d}{t}\quad ;\quad d = v \times t \quad ; \quad t = \dfrac{d}{v}$ .

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. $A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2+3}{4}=\dfrac{5}{4}$
$B=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{5}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$

2. $C=10-[-2\times (2-3)+5]=10-[-2\times (-1)+5]=10-(2+5)=10-7=3$

exercice 2

1. L'expression développée de $(2x)(2x-3)$ est $4x^2-6x$ .

2. L'expression factorisée de $x^2-100$ est $(x-10)(x+10)$ .

3. Les solutions de l'équation $(x-4)(2x+7)=0$ sont $4$ et $-\dfrac{7}{2}$ .

4. La valeur exacte de $\sqrt{4+16}$ est $2\sqrt{5}$ .

5. Le nouveau prix de l'article est : 1 140 F.

exercice 3

Vénus se trouve à $105\times 10^6=1,05\times 10^8$ km du Soleil ;

Mars se trouve à $2250\times 10^5=2,25\times 10^8$ km du Soleil ;

et la Terre est à $1,5\times 10^8$ km du Soleil.
Puisque $2,25>1,5>1,05$ , on a $2,25\times 10^8>1,5\times 10^8>1,05\times 10^8$ , donc c'est Mars qui est la plus éloignée du Soleil parmi ces trois planètes.

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 5

1. a) voir la figure

1. b) Le triangle ABC est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore, on a : $\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2=36+64=100$ , donc $\text{BC}=10$ .

2. a) voir la figure

2. b) Les points B, F, C d'une part, et B, E, A d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, $\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}=\dfrac{1,5}{6}=0,25$ , et $\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{2,5}{10}=0,25$ : ainsi, $\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}$ . D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EF) sont parallèles.

2. c) (AC) et (EF) étant parallèles, on a : $\dfrac{\text{EF}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{1}{4}$ , d'où $\text{EF}=\dfrac{1}{4}\text{AC}=\dfrac{1}{4}\times 8=2$ .

3. a) voir la figure

3. b) Dans le triangle BB'C, [CA] est à la fois la hauteur issue de C et la médiane issue de C (en effet AB'=AB puisque B' est le symétrique de B par rapport à A). Ce triangle est donc isocèle en C.

exercice 2

1. Le volume du verre vaut $\dfrac{1}{3}\pi\times \text{OA}^2\times \text{OS}=\dfrac{1}{3}\pi\times 16\times 9=48\pi$ cm³.

2. 1 litre = 1000 cm³. Or $1000=6\times 48\pi+40$ : avec un litre, on peut donc remplir complètement le verre 6 fois (après quoi il restera $\approx$ 95,2 cm³ d'eau dans la bouteille).

Problème

Partie I

Vitesse mesurée en nœuds	0,514	1,028	1,285	1,542
Vitesse mesurée en m/s	1	2	2,5	3

Partie II

1. On lit dans le tableau précédent que 1,542 nœuds = 3m/s.

2. On a $\text{d}=\text{v}\times \text{t}$ , où d désigne la distance du parcours (en m), v la vitesse (en m/s), et t la durée du parcours (en s) ; en remplaçant, $\text{AB}=3\times 50=150$ mètres.

3. $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$ ; on en déduit que $\text{AC}=\cos(\alpha)\times \text{AB} = \cos(60)\times 150=\dfrac{1}{2}\times 150=75$ . Ainsi, la largeur de la rivière est de 75 mètres.

Partie III

1. a) Le nageur parcourt un mètre par seconde, donc en 50 secondes il aura parcouru 50 mètres ; puisqu'il part de A, il se trouvera alors à 50 m de A.

1. b) On lit dans le tableau qu'une vitesse de 1,028 nœuds correspond à 2m/s. Au bout de 50 s, la pirogue aura parcouru $\text{d}=\text{v}\times \text{t}=2\times 50=100$ m, et comme elle est partie de B, elle se trouvera alors à 150-100=50 mètres de A.

2. a) Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 4

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 4

2. b) Le nageur et la pirogue se croisent lorsqu'ils sont à la même distance de A, c'est-à-dire au temps x tel que n(x)=p(x) : un tel x est l'abscisse du point d'intersection des deux droites représentant les fonctions n et p.
On trouve x=50 s (ce qui confirme le résultat obtenu à la question 1.).