Diplôme National du Brevet
Amérique de Nord - Session Mai 2008
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L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points
Activités numériques
exercice 1
On donne les nombres : .
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Ecrire toutes les étapes du calcul.
2. a) Donner l'écriture décimale de B.
b) Exprimer B en écriture scientifique.
3. Ecrire C sous la forme , où est un nombre entier.
exercice 2
On pose : .
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Calculer D pour et
4. Résoudre l'équation
exercice 3
1. En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de 378 et 270.
2. Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 270 calots.
Il veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots.
a) Combien de lots identiques pourra-t-il faire ?
b) Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?
12 points
Activités géométriques
exercice 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I , J), on considère les points : A(-2 ; 1) B(0 ; 5) C(6 ; -3)
1. Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C.
2. Montrer que : .
3. On admet que et BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
4. Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs et soient égaux.
5. Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier.
exercice 2
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.
On considère un cercle de centre O et de diamètre 8 cm.
I et J sont deux points de diamétralement opposés ;
K est un point de tel que JK = 4 cm.
1. Préciser la nature du triangle IJK. Justifier.
2. Préciser la nature du triangle OJK. Justifier.
3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.
exercice 3
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.
Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O. Les dimensions sont en centimètres.
On donne : OA = 3 ; OB = 2,5 ; OM = 5,4 ; ON = 4,5.
1. Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
2. On suppose que AB = 1,2. Calculer la distance MN.
3. Choisir parmi les quatre nombres suivants
a) 0,55 b) 1,8 c) 3,24 d) 3,6
celui qui est égal à .
Sur la copie, indiquer ce nombre (sans justification).
12 points
Problème
Première partie
Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents :
Tarif A : 8 € par séance.
Tarif B : achat d'une carte privilège à 40 € pour l'année donnant droit à un tarif réduit de 5 € par séance.
Tarif C : achat d'une carte confort à 160 € valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle.
Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.
1. a) Compléter le tableau :
Nombre de séances
10
18
25
Dépense totale avec le tarif A
Dépense totale avec le tarif B
Dépense totale avec le tarif C
b) Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances ?
2. On appelle le nombre de séances.
a) Exprimer, en fonction de , la dépense totale lorsque Mélissa fait séances avec le tarif A.
b) Exprimer, en fonction de , la dépense totale lorsque Mélissa fait séances avec le tarif B.
c) Exprimer, en fonction de , la dépense totale lorsque Mélissa fait séances avec le tarif C.
3. a) Résoudre l'inéquation .
b) Expliquer, en rédigeant votre réponse, à quoi correspondent les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.
Deuxième partie
1. Sur une feuille de papier millimétrée, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche et en prenant pour comme unités : 0,5 cm pour une séance sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 € sur l'axe des ordonnées.
2. Représenter, dans ce repère, les trois fonctions , et pour compris entre 0 et 30.
3. a) Vérifier, par lecture graphique le résultat de la question 1. b) de la première partie ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.
b) Déterminer, par lecture graphique, le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux.
c) Mélissa souhaite ne pas dépasser 130 € pour cette activité ; déterminer par lecture graphique, le tarif qu'elle doit choisir si elle veut faire le plus de séances possibles ; on fera apparaître sur le dessin les tracés nécessaires.
Troisième partie
L'amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine et avait choisi le tarif C ; elle n'a pu se libérer pour ce sport qu'une semaine sur deux.
A-t-elle fait le bon choix ?
On rappelle qu'une année comporte 52 semaines.
3.Calculons D pour : D = 20 × 2² - 50 × 2 - 70
D = 80 - 100 - 70
D = -90
Calculons D pour : D = 20 × (-1)² - 50 × (-1) - 70
D = 20 + 50 - 70
D = 0
4.Résolvons l'équation : Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, et réciproquement. Donc :
Les solutions de l'équation sont et -1.
exercice 3
1.Déterminons le PGCD de 378 et 270 à l'aide de l'algorithme d'Euclide : 378 = 270 × 1 + 108
270 = 108 × 2 + 54
108 = 54 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 54, donc : le PGCD de 378 et 270 est 54.
2. a)Déterminons le plus grand nombre de lots identiques : On a vu que le plus grand diviseur commun de 378 et 270 est 54, donc le plus grand nombre de lots identiques pouvant être réalisés est 54.
2. b)Déterminons la composition de chacun des ces lots : On a :
D'où : chacun de ces lots sera composé de 7 billes et 5 calots.
Activités géométriques
exercice 1
1.
2.Montrons que : :
Donc :
D'où :
3. On admet que et BC = 10.
Démontrons que le triangle ABC est rectangle : On a : et BC² = 100
Donc : AC² + AB² = BC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC est rectangle en A.
4. cf figure
5.Déterminons la nature du quadrilatère ABMC : On a placé le point M tel que les vecteurs et soient égaux, donc le quatrilatère ABMC est un parallélogramme.
De plus, on sait que ABC est un triangle rectangle en A, donc est un angle droit.
Donc le parallélogramme ABMC a un angle droit.
D'où : ABMC est un rectangle.
exercice 2
1.Précisons la nature du triangle IJK : Le triangle IJK est inscrit dans le cercle de diamètre [IJ], donc le triangle IJK est rectangle en K.
2.Précisons la nature du triangle OJK : [OK] et [OJ] sont deux rayons du cercle de rayon 4 cm, donc OK = OJ = 4 cm.
De plus, on sait que JK = 4 cm.
Donc : OK = OJ = JK = 4 cm. On en conclut que OJK est un triangle équilatéral.
3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ).
Démontrons que le quadrilatère ROKJ est un losange : O et J sont deux points de l'axe de symétrie (IJ), donc leurs symétriques sont respectivement O et J. De plus, R est le symétrique de K par rapport à la droite (IJ).
Donc les segments [OR] et [OK] d'une part et [JR] et [JK] d'autre part sont symétriques par rapport à l'axe (IJ).
Or, la symétrie axiale conserve les longueurs, donc OR = OK et JR = JK.
De plus, on a vu que OK = JK, donc OR = OK = JR = JK.
D'où : le quadrilatère ROKJ a quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange.
exercice 3
1.Montrons que les droites (AB) et (MN) sont parallèles : On a : et
Donc :
De plus, les points B, O, M d'une part et A, O, M d'autre part sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
2.Calculons la distance MN : Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O, les droites (AM) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
Donc :
De , on en déduit que :
Donc : MN = 2,16
3. Le nombre cherché est : c) 3,24 Explications : Le triangle OMN est un agrandissement du triangle OAB. Le coefficient d'afrandissement est
Donc :
Problème
Première partie
1. a)Complétons le tableau :
Nombre de séances
10
18
25
Dépense totale avec le tarif A
10 × 8 = 80
18 × 8 = 144
25 × 8 = 200
Dépense totale avec le tarif B
10 × 5 + 40 = 90
18 × 5 + 40 = 130
25 × 5 + 40 = 165
Dépense totale avec le tarif C
160
160
160
1. b) A l'aide du tableau, le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances est le tarif A.
2. a) Lorsque Mélissa fait séances avec le tarif A, elle doit payer euros.
2. b) Lorsque Mélissa fait séances avec le tarif B, elle doit payer euros.
2. c) Lorsque Mélissa fait séances avec le tarif C, elle doit payer euros.
3. a)Résolvons l'inéquation :
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à .
3. b) correspond au prix payé avec le tarif B pour séances, correspond au prix payé avec le tarif A pour séances.
Donc les nombres entiers solutions de l'inéquation correspondent aux nombres de séances pour lesquels le tarif B est plus avantageux que le tarif A.
Or, , donc à partir de la quatorzième séance, il est plus avantageux de prendre le tarif B.
Deuxième partie
1.
2.Représentons les trois fonctions , et : cf graphique
Explications : est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On a , donc le point de coordonnées (25 ; 200) apaprtient à la droite .
est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite .
On a : et , donc les points de coordonnées (10 ; 90) et (25 ; 165) appartiennent à la droite .
La fonction est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; 160).
3. a) Par lecture graphique (en rouge sur le grahique) : le tarif le plus avantageux si Mélissa désire faire 10 séances est le tarif A.
3. b) Par lecture graphique (en bleu sur le graphique) : le tarif C devient le plus avantageux à partir de 24 séances.
3. c) Par lecture graphique (en vert sur le graphique) :avec 130 €, Mélissa devra choisir le tarif B si elle veut faire le plus de séances possibles. Elle pourra alors faire 18 séances.
Troisième partie
L'amie de Mélissa n'est venue qu'une fois sur deux, elle a donc assisté à 52 : 2 séances, soit 26 séances.
Déterminons le prix payé pour 26 séances avec les différents tarifs :
tarif A : 8 × 26 = 208 euros
tarif B : 5 × 26 + 40 = 170 euros
tarif C : 160 euros
Le tarif C reste le plus avantageux, l'amie de Mélissa a donc fait le bon choix.
Publié par porcepic/cel
le
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