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Fiche de mathématiques




4 points sont réservés à la présentation et à la rédaction.
Les calculatrices sont autorisées.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est formellement interdit.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées. Aucune justification n'est demandée.
1. \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} est égal à :- \dfrac{2}{4}- \dfrac{2}{8}\dfrac{1}{8}
2. Le nombre décimal 0,246 s'écrit aussi :2,46 \times 10^{-1}24,6 \times 10^12,46 \times 10^1
3. Quand x= -2, l'expression 2x^2 - 5x+3 est égale à :-15121
4. L'expression réduite de 2x - (5x - 3) est :-3x-3-3x+37x+3
5. Un randonneur parcourt 5 km en 1  h 15 min. Sa vitesse moyenne est :4 km/h4,3 km/h5,75 km/h.





exercice 2

A un stand du « Heiva », on fait tourner la roue de loterie ci-dessous.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 1
On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné.
On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants :
   * A : «on gagne un autocollant»,
   * T : «on gagne un tee-shirt»,
   * M : «on gagne un tour de manège».

1. Quelle est la probabilité de l'évènement A ?

2. Quelle est la probabilité de l'évènement T ?

3. Quelle est la probabilité de l'évènement M ?

4. Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité.




exercice 3

Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre démarche.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500 F en pièces de 20 F et de 5 F, soit 43 pièces en tout.
Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.


12 points

Activités géométriques

Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.

exercice 1

Sur la figure ci-dessous qui n'est pas en vraie grandeur,

ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC].
On donne : AB = 5 ; AD = 4,8 ; BC = 6.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 2


1. Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille).

2. Montrer que la longueur HC est égale à 3,6.

3. Calculer le périmètre du trapèze ABCD.

4. Calculer l'aire du trapèze ABCD.

5. Compléter la figure de la question 1. pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle SHC.
Le prisme droit ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 3





exercice 2

La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.

Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF.
Ce verre est représenté ci-dessous en coupe.
Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G.
On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 4

1. Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie.
    a) Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles.
    b) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.
    c) Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
    d) La réciproque du théorème de Thalès.

2. Calculer IR.


12 points

Problème

Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public.

Première partie

Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325 places pendant la semaine du cinéma.
Jourlundimardimercredijeudivendredisamedidimanche
nombre de spectateurs164239312285310308321


1. Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma.

2. Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ?

Deuxième partie

Un billet de cinéma au tarif normal coûte 850 F. On propose deux tarifs réduits au public :
   * Tarif A : On fait une réduction de 8 % sur le prix total des billets achetés,
   * Tarif B : On paie une carte d'abonnement de 1 000 F et 600 F un billet.

1. Montrer qu'un billet vendu au tarif A coûte 782 F.

2. Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche.
Prix au tarif normal8502 550 4 250 
Prix au tarif A782 7 038 9 384


3. Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets.

4. Calculer le prix de 5 billets au tarif B.

5. Si on dispose de 6 400 F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ?

Troisième partie

Les droites ci-dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 5

1. Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier.

2. Que représente l'abscisse du point de (d') d'ordonnée 2 800 ? Donner sa valeur.
Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique.

3. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif 8 est plus avantageux que le tarif A.



Activités numériques

exercice 1

1. \dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}

2. 0,246=2,46\times 10^{-1}.

3. Pour x=-2, cette expression est égale à 21.

4. L'expression réduite de 2x-(5x-3) est -3x+3.

5. Sa vitesse moyenne est de 4 km/h.




exercice 2

1. La probabilité de l'événement A est \dfrac{1}{8}.
2. La probabilité de l'événement T vaut \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
3. La probabilité de l'événement M est \dfrac{3}{8}.
4. L'événement "non A" est : "On gagne un tee-shirt ou un tour de manège". Sa probabilité est 1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}.




exercice 3

Soit x le nombre de pièces de 20 F et y le nombre de pièces de 5 F. D'après l'énoncé, x et y vérifient le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{l} x+y=43 \\ 20x+5y=500\\ \end{array} \right.. On résout ce système :
la première équation donne y=43-x ; en reportant cela dans la deuxième équation, on a 20x+5(43-x)=500, soit 15x=500-215=285, et x=19. On en déduit y=43-19=24. Ainsi, les élèves ont collecté 19 pièces de 20 F et 24 pièces de 5 F.


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 6


2. Le triangle BCH est rectangle en H ; d'après le théorème de Pythagore, on a \text{BC}^2=\text{HC}^2+\text{HB}^2, d'où \text{HC}^2=\text{BC}^2-\text{HB}^2=6^2-4,8^2=12,96 : donc \text{HC}=\sqrt{12,96}=3,6 cm.

3. Le périmètre du trapèze ABCD vaut : 5+6+3,6+5+4,8=24,4 cm.

4. L'aire du trapèze ABCD est : \text{aire de ABHD }+\text{ aire de BCH} = (5\times 4,8) + \dfrac{4,8\times 3,6}{2} = 24+8,64 = 32,64 cm2.

5. voir la figure.




exercice 2

1. La propriété à utiliser est : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles."

2. Les droites (RS) et (FG) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, \dfrac{\text{IR}}{\text{IF}}=\dfrac{\text{RS}}{\text{FG}}, d'où on tire \text{IR}=\dfrac{\text{IF}\times\text{RS}}{\text{FG}}=\dfrac{8\times 3}{7,5}=3,2 cm.


Problème

Première partie

1. Il y a en moyenne \dfrac{164+239+312+285+310+308+321}{7}=277 spectateurs.

2. \dfrac{312}{325}=0,96=\dfrac{96}{100} : 96% des places de la salle sont occupées le mercredi.

Deuxième partie

1. \850\times 0,92=782 : un billet au tarif A coûte 782 F.

2. Le prix au tarif A est 92% du prix normal. Donc pour passer du prix normal au prix au tarif A, il faut multiplier par 0,92. Pour passer du prix au tarif A au prix normal, il faut faire le contraire : diviser par 0,92. On obtient les valeurs suivantes :
Prix au tarif normal85025507650425010200
Prix au tarif A7822346703839109384


3. Si le prix normal est M, le prix à payer au tarif A est 0,92\times M.

4. Au tarif B, 5 billets coûtent 1000+5\times 600=4000 F.

5. Il faut d'abord payer l'abonnement, après quoi il reste 5400 F. Un billet coûtant 600 F, on peut alors acheter \dfrac{5400}{600}=9 billets.

Troisième partie

1. Pour le tarif A, le prix à payer est proportionnel au nombre de billets achetés ; la courbe correspondante est donc une droite qui passe par l'origine : c'est la droite (d).

2. L'abscisse du point de (d') d'ordonnée 2800 est 3 ; elle représente le nombre de billets qu'on peut acheter au tarif B si on a 2800 F.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Juin 2009 - troisième : image 7


3. Le tarif B est plus avantageux que le tarif A à partir de 6 billets (car l'abscisse du point d'intersection des deux droites est 5,5, voir le graphique).



Merci à Profilcritou critou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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