Diplôme National du Brevet
Métropole-La Réunion - Session Septembre 2009
Partager :
L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points
Activités numériques
exercice 1
Simplifier par 3 la fraction . La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier.
exercice 2
Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.
exercice 3
La recette pour fabriquer une boisson sucrée, demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau.
Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson ?
exercice 4
On propose deux programmes de calcul :
Programme A
Programme B
Choisir un nombre
Multiplier ce nombre par 3
Ajouter 7
Choisir un nombre
Multiplier ce nombre par 5
Retrancher 4
Multiplier par 2
1. On choisit 3 comme nombre de départ.
Montrer que le résultat du programme B est 22.
2. On choisit (-2) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?
3. a) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit (-2) ?
b) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0 ?
4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l'évaluation.
12 points
Activités géométriques
exercice 1
Données de la figure ci-contre : CDE est un triangle rectangle en C
A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
Le point F est le milieu du segment [AC]
et le point O est le milieu de [AB].
Le point G est le symétrique de F par rapport à O.
DE = 12 cm ; AB = 4,5 cm et AC = 1,8 cm
Parmi les quatre questions suivantes en choisir deux et rédiger avec soin leur solution. Les deux questions non choisies n'ont pas à être traitées.
1. Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ?
2. Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB).
3. Calculer la longueur CD.
4. Calculer une valeur approchée au degré près de l'angle .
exercice 2
La figure ci-contre représente un cône de révolution d'axe (OH).
OH = 5 cm
l'angle mesure 30°.
1. Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur.
2. Dessiner la base du cône en vraie grandeur.
3. Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm.
4. On verse de l'eau dans le cône jusqu'au quart de sa hauteur. Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l'eau ?
12 points
Problème
Partie I : Format d'un rectangle
Sur la feuille annexe 1, cinq rectangles sont dessinés. Pour chacun, la longueur et la largeur sont indiquées. L'unité est le mm.
1. Compléter le tableau de la feuille annexe 2. (Dans la dernière ligne du tableau, toutes les fractions devront être irréductibles).
2. Cette écriture irréductible de la fraction obtenue pour chaque rectangle est appelée format du rectangle.
a) Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 1 ?
b) Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 2 ?
3. Un rectangle est au format .
a) Sachant que la largeur de ce rectangle est 54 mm, calculer sa longueur.
b) Dessiner ce rectangle en bas de la feuille annexe 1.
c) Si on ne connaît ni la longueur ni la largeur , exprimer en fonction de .
Partie II : Étude graphique
À chaque rectangle de longueur et de largueur , on associe sur le graphique de la feuille annexe 2, le point de coordonnées .
Les points et correspondant aux deux premiers rectangles sont déjà placés.
1. Placer les trois autres points.
2. Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points correspondant aux rectangles dont le format est ?
3. On considère un rectangle de largeur et de longueur dont le format est .
On appelle M le point du graphique correspondant à ce rectangle. Expliquer pourquoi M appartient à la droite O.
Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles
Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au format ou .
Les fabricants indiquent souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de sa diagonale.
1. Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1.
2. Pour les écrans de télévision au format , les fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut approximativement le double de la largeur. Justifier cette approximation.
Pour simplifier la fraction par 3, on divise le numérateur et le dénominateur par 3 : .
Pour savoir si la fraction est irréductible, on peut remarquer que 4+6+8=18 et 1+1+5+5=12 (donc 468 et 1155 sont tous deux des multiples de 3).
Sinon, on calcule à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
Le PGCD étant le dernier reste non nul, on a .
Autrement dit, 468 et 1155 ne sont pas premiers entre eux : la fraction obtenue n'est pas irréductible (on peut encore la simplifier par 3).
exercice 2
La probabilité de tirer une boule blanche est ici de 0,32. La probabilité de l'événement contraire « tirer une boule noire » est donc de 1-0,32 = 0,68.
Ainsi, il y a plus de chances de tirer une boule noire qu'une boule blanche : les boules noires sont les plus nombreuses.
exercice 3
Lorsque l'on prépare la boisson, 3 doses sur 3+5=8 sont du sirop, et les 5/8 restants sont de l'eau.
Ainsi, pour préparer 6 litres de cette boisson, il faut (3/8)×6 = 2,25 soit 2,25L de sirop.
exercice 4
1. On choisit 3 comme nombre de départ, et on applique le programme B.
On multiplie ce nombre par 5 : 3×5 = 15 ;
On retranche 4 : 15-4 = 11 ;
On multiplie par 2 : 11×2 = 22.
Le résultat du programme B est donc bien 22.
2. On choisit -2 comme nombre de départ, et on applique le programme A.
On multiplie ce nombre par 3 : -2×3 = -6 ;
On ajoute 7 : -6+7 = 1.
On obtient alors le nombre 1.
3. a) Écrivons le programme A sous la forme d'une fonction. Pour cela, on choisit comme nombre de départ x.
On multiplie ce nombre par 3 : on obtient 3x ;
On ajoute 7 : on obtient 3x+7.
Pour que le résultat du programme A soit -2, il faut donc trouver le nombre solution de l'équation , soit .
3. b) Écrivons le programme B sous la forme d'une fonction. Pour cela, on choisit comme nombre de départ x.
On multiplie ce nombre par 5 : on obtient 5x ;
On retranche 4 : on obtient 5x-4 ;
On multiplie par 2 : on obtient 2(5x-4).
Pour que le résultat du programme B soit 0, il faut donc trouver le nombre solution de l'équation . Un produit de facteurs étant nul si au moins un de ses facteurs est nul, l'équation revient donc à 5x-4=0, soit .
4. Si on choisit un nombre x au départ, le résultat du programme A est 3x+7 et celui du programme B est 2(5x-4).
Pour que ces deux résultats soient égaux, il faut trouver trouver le nombre solution de l'équation :
Activités géométriques
exercice 1
1. On sait par hypothèse que O est le milieu de [AB].
De plus, G est le symétrique de F par O, donc par définition O est le milieu de [GF].
Ainsi, le quadrilatère AFBG possède des diagonales qui se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme.
2. Dans le triangle ABC :
F est le milieu du segment [AC] ;
O est le milieu du segment [AB].
Donc d'après le théorème des milieux, la droite (FO) est parallèle au troisième côté du triangle ABC : on a donc (FO)//(CB).
3. Dans le triangle CDE :
;
;
(AB)//(DE).
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire que .
De l'égalité encadrée, on en déduit que soit 4,8 cm.
4. Dans le triangle ABC rectangle en C (dont l'hypoténuse est donc [AB]), on sait que .
Donc soit environ 66°.
exercice 2
1. -
2. La construction demandée est celle d'un cercle de rayon HM.
Le calcul du rayon étant demandé dans la question suivante, on se contentera ici de reporter la longueur HM sur le dessin de la question 1.
3. On sait que dans le triangle OHM rectangle en H, .
Ainsi, soit environ 2,9 cm.
4. Le volume total du cylindre est soit 44 cm3.
Si l'on remplit le cylindre au quart, le volume est alors soit environ 0,7 cm3.
Le pourcentage du volume total du cylindre occupé par l'eau est donc soit environ 1,6%.
On peut également raisonner en terme d'agrandissement : si on remplit le quart du cylindre, alors le volume occupé est du volume total du cylindre.
Problème
Partie I : Format d'un rectangle
1.
Rectangle 1
Rectangle 2
Rectangle 3
Rectangle 4
Rectangle 5
Longueur
32
36
60
80
128
Largeur
18
27
45
45
72
sous forme irréductible
2. a) Les rectangles ayant le même format que le rectangle 1 sont les rectangles 4 et 5.
2. b) Le rectangle ayant le même format que le rectangle 2 est le rectangle 3.
3. a) On sait que avec l=54mm. On a donc soit 96 mm.
3. b) -
3. c) On sait que . Autrement dit, en multipliant par chacun des deux membres de l'égalité, on obtient .
Partie II : Étude graphique
1.
2. Il semblerait que les points correspondant aux rectangles dont le format est soient alignés.
3. On a montré précédemment que : autrement dit, il y a proportionnalité entre et .
Ainsi, le point M se situe sur une droite qui passe par l'origine du repère, mais aussi par le point de coordonnées .
M appartient donc à la droite .
Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles
1. On peut découper le rectangle 1 en deux triangles rectangles. Si on note la longueur de la diagonale, on a alors d'après le théorème de Pythagore :
2. Plus généralement, pour un écran au format , sachant que , on a d'après le théorème de Pythagore :
Pour un écran au format , la longueur de la diagonale peut donc être considérée comme le double de la largeur.
Publié par TP/ correction Porcepic vérifiée
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Porcepic pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !