Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Polynésie Française - Session Septembre 2009

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4 points sont réservés à la présentation et à la rédaction.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
L'échange de calculatrices et de tout autre matériel est interdit.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques



exercice 1 : QCM

Une seule des trois réponses proposées est correcte. Entourez-la. Aucune justification n'est demandée.
 ABC
\dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times  \dfrac{2}{3} est égal à :\dfrac{4}{5}\dfrac{12}{30}1
L'écriture scientifique de 65 100 000 est :6,51 \times 10^7651 \times 10^56,51 \times 10^{-7}
(3x - 2)^2 est égal à :9x^2 - 43x^2 - 12x + 49x^2 - 12x + 4
Le nombre de diviseurs communs à 40 et 60 est:468
Un véhicule effectue 50 km en 2 h puis 100 km en 3 h. Sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est:27 km/h30 km/h32 km/h





exercice 2

Heimiri et son frère Tehui souhaitent gâter leur maman pour la fête des mères. Ils disposent de 18 000 F et profitent des soldes.

1. Dans la vitrine d'une bijouterie, ils aperçoivent de superbes boucles d'oreilles à 12 000 F.
Calculer le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25 % ?

2. Dans la même bijouterie, ils aperçoivent une magnifique bague.
Après une remise de 20 %, le prix de la bague est de 7 840 F.
Quel était son prix initial ?

3. En s'apprêtant à sortir de la bijouterie, Heimiri est sous le charme d'un pendentif en nacre.
Voici ce qu'indique l'étiquette :
Pendentif

2 800 F

2 100 F
Déterminer le pourcentage de remise effectuée sur le prix de ce pendentif.




exercice 3

Écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

la ville A compte 60 000 voitures et la ville B compte 18 000 voitures.
les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes A et B.
On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu :
«On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A».
A t-il raison ?
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2009 - troisième : image 1



12 points

Activités géométriques

exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre

On donne:
    Les points C, D et A sont alignés.
    Les points B, E et A sont alignés.
    (DE) \perp (AD)
    AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2
    M \in [AC] et N \in [AB] tels que AM = 4 et AN = 5.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2009 - troisième : image 2

La figure n'est pas en vraie grandeur

1. a) Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point.
    b) En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

2. Calculer DE.

3. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.




exercice 2

On considère les trois solides suivants :
    la boule de centre O et de rayon SO tel que SO = 3 cm
    la pyramide SEFGH de hauteur 3 cm dont la base est le carré EFGH de côté 6 cm
    le cube ABCDEFGH d'arête 6 cm.

Ces trois solides sont placés dans un récipient.
Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKl de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm.

1. Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm3.

2. Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm3.

3. Calculer le volume de la boule en cm3.(on arrondira à l'unité près)

4. En déduire le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKl en cm3.

5. Dans cette question, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Pourra t-on verser dans ce récipient 20 cl d'eau sans qu'elle ne déborde ?

Schéma :
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2009 - troisième : image 3
La figure n'est pas en vraie grandeur

    Le volume d'une pyramide se calcule grâce à la formule :
V = \dfrac{1}{3} \times  h \times Bh est la hauteur de la pyramide et B l'aire de sa base.
    Le volume d'une boule se calcule grâce à la formule :
V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times  r^3r est le rayon de la boule.
    1 dm3 = 1 L




12 points

Problème

Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A

la moitié d'un terrain de basket a été partagée en 3 zones de jeu différentes notées R, M et E. Elles sont repérées dans la figure ci-dessous.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2009 - troisième : image 4
On a relevé ci-dessous, pour chacun des quatre quart temps du match, tous les lancers effectués depuis chaque zone.
Premier quart temps
Zone de lancerRME
Nombre de lancers753
Second quart temps
Zone de lancerRME
Nombre de lancers852
Troisième quart temps
Zone de lancerRME
Nombre de lancers952
Quatrième quart temps
Zone de lancerRME
Nombre de lancers653





1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le nombre total de lancers réalisés lors des quatre quart temps du match :
Zone de lancerRMETotal
Nombre de lancers    

2. Calcul de fréquences
    a) Calculer la fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match et donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible.
    b) Calculer la fréquence des lancers effectués en dehors de la zone E lors du match.
Donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible.

3. Pendant le match, sur les 60 lancers effectués, 51 ont été réussis dont 27 depuis la zone R. On sait aussi que \dfrac{3}{4} des lancers effectués dans la zone M ont été réussis.
Calculer le nombre de lancers réussis dans la zone E.

Partie B

Le graphique ci-dessous représente la hauteur du ballon lors d'un lancer en fonction du temps.
Diplôme national du brevet - Polynésie Française - Septembre 2009 - troisième : image 5
En vous aidant du graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Quelle est la hauteur du panier ?

2. à quelle hauteur se trouve le ballon 0,1 s après le lancer ?

3. a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
    b) Au bout de combien de temps le ballon atteint-il cette hauteur maximale ?

Partie C

Le joueur A passe le ballon au joueur B situé à 7,2 m de lui. La passe dure 0,4 s.

1. Calculer la vitesse moyenne du ballon, en m/s, lors de cette passe.

2. Convertir en km/h.



Activités numériques



exercice 1 : QCM

1. \fbox{\displaystyle\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=1}

En effet : \displaystyle\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{3}{5}+\frac{\cancel{3}\times2}{5\times\cancel{2}}=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1.

2. \fbox{\displaystyle{\rm L'écriture\,scientifique\,de}\,65\,100\,000\,{\rm est}\,6,51\times10^7.}

En effet, l'écriture scientifique d'un nombre est de la forme A,B\times10^m, où A est un chiffre entre 1 et 9, B un nombre quelconque (partie décimale) est m un entier quelconque.
De plus, ici, pour passer de 6,51 au nombre voulu, il faut déplacer la virgule de 7 rangs vers la droite, d'où : 65\,100\,000=6,51\times10^7.

3. \fbox{\displaystyle (3x-2)^2=9x^2-12x+4}

Il s'agit d'une identité remarquable : (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

4. \fbox{\displaystyle 40\,{\rm et}\,60\,{\rm ont}\,6\,{\rm diviseurs\,communs}.}

On écrit : 40=2^3\times5 et 60=2^2\times3\times5.
Les diviseurs de 40 sont donc : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40.
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 60.
40 et 60 ont donc bien 6 diviseurs communs.

5. \fbox{\displaystyle{\rm Sa\,vitesse\,moyenne\,sur\,l'ensemble\,du\,trajet\,est}\,30\,{\rm km.h}^{-1}.}

Au total, le véhicule a en effet parcouru 150 km en 5h.
Sa vitesse moyenne est donc : v_{moy}=\dfrac{d}{t}=\dfrac{150}{5}=30 soit 30 km.h-1.




exercice 2

1. Les boucles d'oreilles coûtent initialement 12 000 F.
Après réduction de 25%, leur prix sera de :
\displaystyle 12000-\frac{25}{100}\times12000=\left(1-\frac{25}{100}\right)\times12000=0,75\times12000=9000\quad\mathbf{soit\,\,9\,000\,F}.


2. Soit x le prix avant réduction de la bague.
On a : x-\dfrac{20}{100}x=7840 (équation à résoudre).
\displaystyle x-\frac{20}{100}x=7840\\ \left(1-0,2\right)x=7840\\ 0,8x=7840\\ x=\frac{7840}{0,8}\\ x=9800
Le prix de la bague avant réduction était de 9 800 F.

3. Soit p le pourcentage de réduction.
On a cette fois-ci : 2800-\dfrac{p}{100}\times2800=2100 (équation à résoudre).
\displaystyle 2800-\frac{p}{100}\times2800=2100\\ 28p=700\\ p=\frac{700}{28}\\ p=25
Le pourcentage de remise effectuée sur le prix de ce pendentif est de 25 %.




exercice 3

  D'après la légende, 25 % des voitures dans la ville A sont blanches.
Or, la ville A compte 60 000 voitures.
Ainsi, le nombre de voitures blanches dans la ville A est : \dfrac{25}{100}\times60000=15000.

  De même, d'après la légende, 60% des voitures dans la ville B sont blanches.
Or, la ville B compte 18 000 voitures.
Ainsi, le nombre de voitures blanches dans la ville B est : \dfrac{60}{100}\times18000=10800.

Or, 15 000 > 10 800, donc : il y a plus de voitures blanches dans la ville A que dans la ville B. L'élève a donc tort.



Activités géométriques

exercice 1

1. a) On a : AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75.
Ainsi, AB > AC > BC : le triangle ne peut être rectangle qu'en C.

Calculons séparément :
\begin{array}{l}AB^2=(6,25)^2\\AB^2=39,0625\end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{l}AC^2+BC^2=5^2+3,75^2\\ AC^2+BC^2=25+14,0625\\AC^2+BC^2=39,0625\end{array}

Ainsi, on a AB² = AC² + BC². Le triangle ABC est donc rectangle en C, d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

    b) Le triangle ABC étant rectangle en C, (AC) et (BC) sont perpendiculaires.
Or, d'après le codage de la figure, (AC) et (DE) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre, d'où finalement : les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

2. Les points A,D,C et A,E,B sont respectivement alignés dans cet ordre.
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire : \displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}.

En utilisant la dernière égalité, on obtient :
\displaystyle DE\times AC=AD\times BC\\ DE=\frac{AD\times BC}{AC}\\ DE=\frac{3,2\times3,75}{5}\\ \fbox{DE=2,4}\quad\mathbf{soit\,2,4\,cm}.

3. Les points A,M,C et A,N,B sont respectivement alignés dans cet ordre.
De plus, on a :
\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle\frac{AN}{AB}=\frac{5}{6,25}=\frac{1,25\times4} {1,25\times5}=\frac{4}{5}\\ \displaystyle\frac{AM}{AC}=\frac{4}{5}\end{array}

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.




exercice 2

1. Le volume du cube ABCDEFGH est : \mathcal{V}(ABCD EFGH)=6^3=216 soit 216 cm3.

2. Le volume de la pyramide SEFGH est : \mathcal{V}(S EFGH)=\dfrac{1}{3}\times h\times B, où h est la hauteur de la pyramide.
D'où : \mathcal{V}(S EFGH)=\dfrac{1}{3}\times3\times6^2=36 soit 36 cm2.

3. Le volume de la boule est par définition : \mathcal{V}_{boule}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3, où r est le rayon de la boule.
D'où : \mathcal{V}_{boule}=\dfrac{4\pi}{3}\times3^3=36\pi=113,09... soit environ 113 cm3 (arrondi à l'unité près).

4. Le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKL est :
\mathcal{V}_{sol}=\mathcal{V}(ABCD EFGH)+\mathcal{V}(S EFGH)+\mathcal{V}_{boule}\simeq 216+36+113 = 365 soit 365 cm3.

5. Le volume total du pavé ABCDIJKL est : \mathcal{V}_{tot}=AB\times BC\times AI=6\times6\times15=540 soit 540 cm3.
Ainsi, le volume restant inoccupé dans le pavé est : \mathcal{V}_{tot}-\mathcal{V}_{sol}=540-365=175 soit 175 cm3.

Enfin, comme 1 dm3 = 1 L, on a 1 cm3 = 10-3 dm3 = 10-3 L = 0,1 cL.
Autrement dit, 175 cm3 = 17,5 cL, où 17,5 < 20 : on ne peut pas verser 20 cL d'eau dans le récipient sans que celle-ci ne déborde.



Problème

Partie A

1. On a le tableau suivant :
\begin{tabular}{|lp{1cm}|c|c|c|c|}\hline {\rm Zone de lancer} && R & M & E & {\rm Total}\\\hline {\rm Nombre de lancers} &&  7+8+9+6=30 & 5+5+5+5=20 & 3+2+2+3 = 10 & 30+20+10 = 60\\\hline\end{tabular}


2. a) La fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match est le quotient du nombre de lancers effectués depuis la zone E par le nombre total de lancers effectué au cours du match.
D'où : \fbox{\displaystyle F_E = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}}

    b) De même : \fbox{\displaystyle F_{\bar{E}}=\frac{60-10}{60}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}}.

3. 3/4 des 20 lancers effectués depuis la zone M ont été réussis, soit :3/4\times20=15 lancers réussis depuis la zone M.
Ainsi, 51 lancers ont été réussis dont 27+15=42 depuis les zones R et M.
Or, 51 - 42 = 9, d'où : 9 lancers ont été réussis depuis la zone E.

Partie B

1. Graphiquement, on lit que la hauteur du panier est de 3 mètres (repéré sur l'axe des ordonnées).

2. En traçant la droite verticale d'équation x=0,1, et en repérant son point d'intersection avec la courbe représentant la hauteur du ballon en fonction du temps, point dont on lit l'ordonnée, on constate que 0,1 s après le lancer, le ballon se trouvait à une hauteur de 3 m.

3. a) On repère l'ordonnée du point le plus haut sur la courbe : la hauteur maximale du ballon est de l'ordre de 4,4 m.

    b) On repère cette fois-ci l'abscisse de ce même point : la hauteur maximale est atteinte en un peu moins de 0,6 s.

Partie C

1. On a : \displaystyle v_{moy}=\frac{d}{t}=\frac{7,2}{0,4}=18 soit 18 m.s-1.

2. On a : \displaystyle \rm\frac{18 m}{1 s}=\frac{18\times10^{-3} km}{1 s}=\frac{18\times 3600\times10^{-3} km}{3600 s}=\frac{64,8 km}{1 h}.
D'où : 18 m.s-1 = 64,8 km.h-1.
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