Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Nouvelle Calédonie - Session Décembre 2009

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre ;
Lui ajouter 3 ;
Multiplier cette somme par 4 ;
Enlever 12 au résultat obtenu.

1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8.

2. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
    Le nombre choisi est $\dfrac{1}{3}$ ;
    Le nombre choisi est $\sqrt{5}$ .

3. a) À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ?
    b) Démontrer votre réponse.
Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.

exercice 2

La roussette rousse est une espèce de chauve souris, endémique au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle sera la mascotte officielle des XIV^èmes Jeux du Pacifique de 2011.

Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009 - troisième : image 1

On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule.

1. Quels sont les six résultats possibles à l'issue d'un tirage ?

2. Déterminer les probabilités suivantes :
    a) la lettre tirée est un R.
    b) la lettre tirée est un S.
    c) la lettre tirée n'est pas un S.

3. Julie affirme qu'elle a plus de chance d'obtenir une voyelle qu'une consonne à l'issue d'un tirage. A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses proposées est exacte.
Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne.
Aucune justification n'est demandée.
Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.

	A	B	C
1. Avec les données de cette figure, l' arrondi au mm près de AB est :	4,8 cm	2,2 cm	2 cm
2. Avec les données de cette figure, la longueur DE en cm est :	1,5 cm	9,6 cm	4,5 cm
3. La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un :	trapèze	rectangle	cercle
4. Le point K appartient au cercle de diamètre [IJ] et $\widehat{\text{KIJ}}$ mesure 32° alors :	$\widehat{\text{IJK}}$ mesure 32°	On ne peut pas calculer la mesure de $\widehat{\text{IJK}}$	$\widehat{\text{IJK}}$ mesure 58°

exercice 2

Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants :
Les points O, A et C sont alignés.
Les points O, B et D sont alignés.
Les angles $\widehat{\text{OAB}}$ et $\widehat{\text{ACD}}$ sont droits.
OA = 11 m; AC = 594 m ; AB = 1,5m.

Le schéma n’est pas représenté en vraie grandeur
Le segment [CD] représente l’éolienne.

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009 - troisième : image 2

1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Calculer la hauteur CD de l'éolienne. Justifier.

exercice 3

Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-dessous où les dimensions ne sont pas respectées. Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m, EF = 9 m, DF = 15 m.

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009 - troisième : image 3

1. On veut construire ce triangle à l'échelle $1/200$ .
a) Le tableau ci-dessous est reproduit dans l'annexe. Le compléter.

	DE	EF	DF
Dimensions réelles	12 m	9 m	15 m
Dimensions du dessin	6 cm

b) Construire le triangle DEF.

2. Montrer que ce terrain possède un angle droit.

3. Calculer l'aire réelle de ce parc.

12 points

Problème

Ce problème est composé de trois parties indépendantes

Première partie

Un chocolatier dispose de 1 575 bonbons au chocolat blanc et de 4 410 bonbons au chocolat noir.
Afin de préparer les fêtes de fin d'année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante :
tous les chocolats doivent être utilisés
toutes les boîtes doivent avoir la même composition.
De plus il veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible.

1. Combien pourra-t-il faire de boîtes ? Justifier votre réponse.

2. Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Justifier.

Deuxième partie

En une semaine, Nicolas le chocolatier, a vendu toutes ses boîtes.
Voici la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine.

Jours de la semaine	lundi	mardi	mercredi	jeudi	vendredi	samedi	dimanche
Nombre de boîtes vendues	13	32	60	54	61	63	32

1. Représenter la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine à l'aide d'un diagramme en bâtons.

2. Quel est le nombre total de boîtes vendues durant la semaine ?

3. Calculer le pourcentage de boîtes vendues durant le week-end (samedi et dimanche). Arrondir le résultat à l'unité.

4. Calculer le nombre moyen de boîtes vendues par jour.

Troisième partie

Le chocolatier a vendu 315 boîtes dans la semaine. Chaque boîte contient 19 chocolats. Une boîte vide coûte 200 F.

1. En supposant qu'un chocolat coûte 100 F.
a) Calculer le prix d'une boîte de chocolats ?
b) En déduire combien rapporte la vente des 315 boîtes durant la semaine ?

2. Quel devrait être le prix d'un chocolat si le chocolatier voulait vendre sa boîte 2 290 F ?

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Activités numériques

exercice 1

1. Appliquons ce programme au nombre 2 :
$2+3=5$
$5\times 4=20$
$20-12=8$
On obtient bien 8 comme résultat final.

2.
Si le nombre de départ est $\dfrac{1}{3}$ , on obtient successivement : $\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{1}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{10}{3}$ , $\dfrac{10}{3}\times 4=\dfrac{40}{3}$ , et finalement $\dfrac{40}{3}-12=\dfrac{40}{3}-\dfrac{36}{3}=\dfrac{4}{3}$ .
De même, si on choisit $\sqrt{5}$ au départ, on obtient : $\sqrt{5}+3$ , $(\sqrt{5}+3)\times 4=4\sqrt{5}+12$ , $4\sqrt{5}+12-12=4\sqrt{5}$ .

3. a) Il semble suffire de multiplier le nombre de départ par 4 pour obtenir le résultat final.

3. b) Appelons x le nombre choisi au départ, et appliquons-lui le programme : les étapes successives donnent comme résultats $x+3$ , $4\times(x+3)=4x+12$ , $4x+12-12=4x$ : on retrouve bien au final le quadruple du nombre $x$ choisi.

exercice 2

1. À l'issue du tirage, on peut obtenir la lettre R, O, U, S, E, ou T.

2. a) Il y a au total 10 boules dans l'urne, dont une seule qui porte la lettre R. La probabilité de tirer un R vaut donc $\dfrac{1}{10}$ .

2. b) Sur les dix boules, il y en a trois qui ont la lettre S. Ainsi, la probabilité de tirer un S est de $\dfrac{3}{10}$ .

2. c) La probabilité de tirer autre chose qu'un S vaut alors $1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$ .

3. Parmi les dix boules, six sont marquées d'une consonne et seulement quatre portent une voyelle : la probabilité de tirer une consonne vaut $\dfrac{6}{10}$ , celle de tirer une voyelle vaut $\dfrac{4}{10}$ . Julie a donc tort : elle a plus de chances de tirer une consonne qu'une voyelle.

Activités géométriques

exercice 1

1. L'arrondi au millimètre de la longueur AB est : 2,2 cm.

2. DE mesure 4,5 cm.

3. La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

4. $\widehat{IJK}$ mesure 58°.

exercice 2

1. Les droites (AB) et (CD) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AC) ; elles sont donc parallèles.

2. Appliquons le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OCD : on a l'égalité $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$ . On en déduit que $\text{CD}=\dfrac{\text{AB}\times\text{OC}}{\text{OA}}=\dfrac{1,5\times(11+594)}{11}=82,5$ .
L'éolienne mesure 82,5 m.

exercice 3

1. a)

	DE	EF	DF
Dimensions réelles	12 m	9 m	15 m
Dimensions du dessin	6 cm	4,5 cm	7,5 cm

1. b)

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009 - troisième : image 8

2. On a $\text{DF}^2=15^2=225$ et $\text{DE}^2+\text{EF}^2=12^2+9^2=144+81=225$ . Ainsi, $\text{DE}^2+\text{EF}^2=\text{DF}^2$ : le triangle DEF est rectangle en E.

3. L'aire (réelle) de ce parc est : $\dfrac{\text{DE}\times\text{EF}}{2}=\dfrac{12\times 9}{2}=6\times 9=54$ m².

Problème

Première partie

1. Le nombre de boîtes doit diviser le nombre de bonbons de chaque sorte ; de plus, il doit être le plus grand possible. C'est donc le PGCD de 1 575 et 4 410. Calculons ce PGCD par l'algorithme d'Euclide :
$4410=1575\times 2+1260$
$1575=1260\times 1+315$
$1260=315\times 4+0$
Le PGCD de 1575 et 4410 est le dernier reste non nul, il vaut 315 : le chocolatier pourra former 375 boîtes.

2. On a $\dfrac{1575}{315}=5$ et $\dfrac{4410}{315}=14$ : dans chaque boîte, il y aura 5 chocolats blancs et 14 chocolats noirs.

Deuxième partie

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009 - troisième : image 7

2. 13+32+60+54+61+63+32=315 : toutes les boîtes ont été vendues pendant la semaine.

3. Pendant le week-end, 63+32=95 boîtes ont été vendus. $\dfrac{95}{315}\approx 0,30=\dfrac{30}{100}$ : environ 30% des boîtes ont été vendues le week-end.

4. En moyenne, $\dfrac{315}{7}=45$ boîtes ont été vendues chaque jour.

Troisième partie

1. a) Une boîte de chocolats coûte $200+19\times 100=2100$ F.

1. b) La vente des 315 boîtes a rapporté $315\times 2100=661 500$ F au chocolatier.

2. En supposant toujours que la boîte vide coûte 200F : si le chocolatier veut vendre sa boîte (pleine) 2290F, alors le prix des 19 chocolats doit être de 2090F, donc chaque chocolat coûtera $\dfrac{2090}{19}=110$ F.

Publié par TP/critou le 18-05-2013

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