Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Sud - Session Novembre 2010

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

12 points

Activités numériques

exercice 1

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice, les calculs pourront être réalisés à la calculatrice. On donne les nombres suivants :

A $= \dfrac{927}{486 - 13 \times 8}$	B $= \dfrac{3 \times 10^5 - 6 \times 10^3}{3 \times 10^{11}}$	C $= \sqrt{\dfrac{442,5- 7^2 \times 2,5}{5}}$
D $= \sqrt{6} - \sqrt{5}$	E $= \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$

1. Calculer A et donner un arrondi à 0,01 près.

2. Donner l'écriture scientifique de B.

3. Calculer C.

4. Comparer les nombres D et E.

exercice 2

Un carré a pour aire 225 cm². Quel est le périmètre de ce carré ? Justifier votre réponse.

exercice 3

On rappelle dans cet exercice que :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad ; \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\quad \text{et} (a + b )(a - b) = a^2 - b^2$

On donne les expressions numériques suivantes :
A $= \left(3\sqrt{2} + 5\right)^2$ et B $= \left(\sqrt{7} + 3\right)\left(\sqrt{7} - 3\right)$

Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez au moins une étape de calcul.

1. Écrire A sous la forme $a + b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

2. Calculer B.

exercice 4

1. On considère le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{l} 45x + 30y = 510 \\ 27x + 20y = 316 \end{array}\right.$
    a) Les nombres $x = 10$ et $y = 2$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.
    b) Les nombres $x = 8$ et $y = 5$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.

2. Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle au Palais des Congrès à Paris.
Les tarifs sont les suivants :
   45 € par adulte et 30 € par enfant s'ils réservent en catégorie 1.
   27 € par adulte et 20 € par enfant s'ils réservent en catégorie 2.
Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510 € s'ils réservent en catégorie 1 et 316 € s'ils réservent en catégorie 2.
Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe ?

12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm.

2. Démontrer que ce triangle est rectangle en A.

3. On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
a) Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse.
b) En déduire le rayon de ce cercle.

4. Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.

exercice 2

EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm.
La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.

Diplôme National du Brevet Amérique du Sud Novembre 2010 - troisième : image 1

1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$ . Arrondir au degré près.

2. Montrer que EG = 12 cm.

3. On considère le point M sur [EG] tel que
EM = 3 cm.
Calculer GM.

4. La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.
Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.

12 points

Problème

Les parents de Charlotte souhaitent l'inscrire dans le club d'équitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose trois formules différentes :
    Formule A : 18 € la séance.
    Formule B : 165 € par carte de 10 séances.
    Formule C : Paiement d'une cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.

Partie 1

1. Vérifier que le coût pour 7 séances est de 126 € pour la formule A, 165 € pour la formule B et 210 € pour la formule C.

2. Calculer le coût de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?

Partie 2

Charlotte désirant faire du cheval toute l'année, ses parents décident de comparer les formules B et C.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

		1 carte	2 cartes	5 cartes
PRIX	Formule B
PRIX	Formule C

2. Soit $x$ le nombre de cartes de 10 séances achetées.
    a) Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule B.
    b) Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule C.
    c) Résoudre l'inéquation suivante $140x + 70 \le 165x$ .
    d) À partir de combien de cartes achetées, la formule C devient-elle avantageuse ?

Partie 3

1. Dans le repère fourni, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : $f : x \longmapsto 165x$ (Prix avec la formule B) ; $g : x \longmapsto 140x + 70$ (Prix avec la formule C).

Diplôme National du Brevet Amérique du Sud Novembre 2010 - troisième : image 2

2. Dans cette question, on fera apparaître les tracés utiles en pointillés.
Retrouver graphiquement le nombre de cartes à partir duquel la formule C devient avantageuse.

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Activités numériques

exercice 1

1. À l'aide de la calculatrice, en lui demandant de calculer l'expression $\dfrac{927}{486-13\times8}$ , on trouve : A = 2,4267... soit environ 2,43 (arrondi à 0,01 près).

2. $\displaystyle B=\frac{3\times10^5-6\times10^3}{3\times10^{11}}=\frac{10^5-2\times10^3}{10^{11}}=\frac{98\times10^3}{10^{11}}=98\times10^{3-11}=\fbox{\displaystyle 9,8\times10^{-7}}$ .

3. $\displaystyle C=\sqrt{\frac{442,5-7^2\times2,5}{5}}=\sqrt{\frac{442,5-122,5}{5}}=\sqrt{\frac{320}{5}}=\sqrt{64}=\fbox{8}.$

4. En utilisant la quantité conjuguée pour faire apparaître une identité remarquable au dénominateur de l'expression de E, on obtient :
$\displaystyle E=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}+\sqrt{5}=D$ . Finalement, on a donc : $\fbox{\displaystyle E=D}$ .

exercice 2

Soit $x$ le côté de ce carré.
L'aire du carré étant égale à 225 cm², on a l'équation : $x^2 = 225$ , soit $x = \sqrt{225} = 15$ (car $x > 0$ ).
Le périmètre du carré est alors : $4x = 4 \times 15 = 60$ soit 60 cm.

exercice 3

1. $A=(3\sqrt{2}+5)^2=(3\sqrt{2})^2+2\times3\sqrt{2}\times5+5^2=9\times2+30\sqrt{2}+25=\fbox{43+30\sqrt{2}}$ .

2. $B=(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)=(\sqrt{7})^2-3^2=7-9=\fbox{-2}$ .

exercice 4

1. a) Il s'agit de remplacer $x$ par 10 et $y$ par 2 et vérifier si les égalités ci-dessus sont vérifiées ou non. En l'occurrence, ici :
45 × 10 + 30 × 2 = 450 + 60 = 510 ;
27 × 10 + 20 × 2 = 270 + 40 = 310.
Les nombres $x$ = 10 et $y$ = 2 ne sont donc pas solutions du système considéré.

b) Même méthode :
45 × 8 + 30 × 5 = 360 + 150 = 510 ;
27 × 8 + 20 × 5 = 216 + 100 = 316.
Les nombres $x$ = 8 et $y$ = 5 sont donc solutions du système considéré.

2. Soit $x$ le nombre d'adultes du groupe et soit $y$ le nombre d'enfants.
Si le groupe d'amis réserve en catégorie 1, il paie 510 €, donc : $45x + 30y = 510$
Si le groupe d'amis réserve en catégorie 2, il paie 316 €, donc : $27x + 20y = 316$
On obtient le système suivant : $\left \lbrace \begin{array}{l} 45x + 30y = 510\\ 27x + 20y = 316 \end{array} \right.$
A la question précédente, nous avons trouvé la solution du système : le couple (8 ; 5).
Ainsi, il y a 8 adultes et 5 enfants dans le groupe.

Activités géométriques

exercice 1

1. On obtient la figure suivante :

Diplôme National du Brevet Amérique du Sud Novembre 2010 - troisième : image 3

2. Dans le triangle ABC, le plus long côté est [BC].
On a : AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
et BC² = 10² = 100.
Donc : AB² + AC² = BC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. a) On sait que le triangle ABC est rectangle en A.
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l'hypoténuse.
Donc, le point O est le milieu de l'hypoténuse [BC].

3. b) Le rayon de ce cercle est donc $\dfrac{\text{BC}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ soit 5 cm.

4. On obtient la figure suivante :

Diplôme National du Brevet Amérique du Sud Novembre 2010 - troisième : image 4

Le point O étant le milieu de la diagonale [BC] du rectangle ABDC, c'est également le centre de symétrie du rectangle. Par conséquent, le point D est le symétrique du point A par rapport à O, d'où OA = OD : le point D appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC.

exercice 2

1. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a :
$\cos \left(\widehat{EFG}\right) = \dfrac{EF}{FG} = \dfrac{5}{13}$
Donc : $\widehat{EFG} = \cos^{-1} \left( \dfrac{5}{13} \right)$
D'où : $\boxed{\widehat{EFG} \simeq 67°}$ .

2. Dans le triangle EFG rectangle en E, on applique le théorème de Pythagore :
$EF^2+EG^2=FG^2\\ EG^2=FG^2-EF^2\\ EG^2=13^2-5^2\\ EG^2=144\\ EG=\sqrt{144} \text{ car}\,EG\,\text{ positif}\\ \boxed{EG=12}$
soit EG = 12 cm.

3. Les points E, M et G étant alignés, on a : GM = EG - EM = 12 - 3 = 9 soit 9 cm.

4. Le triangle EFG étant rectangle en E, on sait que les droites (EF) et (EG) sont perpendiculaires.
De même, par construction, les droites (EG) et (MN) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc, les droites (MN) et (EF) sont parallèles.

Problème

Partie 1

1. Pour 7 séances d'équitation :
avec la formule A, le coût est de 7 × 18 = 126 € ;
avec la formule B, le coût est de 165 € (une carte de 10 séances achetée, dont 3 non utilisées) ;
avec la formule C, le coût est de 70 + 140 = 210 €.

2. Pour 20 séances d'équitation :
avec la formule A, le coût est de 20 × 18 = 360 € ;
avec la formule B, le coût est de 2 × 165 = 330 € (deux cartes de 10 séances achetées) ;
avec la formule C, le coût est de 70 + 2 × 140 = 350 €.
La formule la plus avantageuse dans ce cas est la formule B.

Partie 2

1. On obtient le tableau suivant : $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{} & 1\,{\rm carte} & 2\,{\rm cartes} &5\,{\rm cartes}\\\hline \rm Prix & \rm Formule\,B & 165\euro & 330\euro & 825\euro \\\cline{2-5} & \rm Formule\,C & 210\euro & 350\euro & 770\euro\\\hline\end{tabular}$
2. a) Le coût pour la famille si elle choisit la formule B est : $165x$ .

    b) Le coût pour la famille si elle choisit la formule C est : $70 + 140x$ .

    c) On résout l'inéquation :

$140x+70 \leqslant 165x\\ 70 \leqslant 25x\\ \fbox{\math x \geqslant 2,8}$

    d) La formule C devient avantageuse lorsqu'on a $70+140x\leqslant 165x$ .
D'où d'après la question précédente, la formule C est avantageuse à partir de 3 cartes achetées.

Partie 3

1. On obtient le graphique ci-dessous :

Diplôme National du Brevet Amérique du Sud Novembre 2010 - troisième : image 5

2. On retrouve graphiquement (cf. pointillés mauve) que la formule C (en vert) devient plus avantageuse pour x supérieur à 2,8 environ, soit à partir de 3 cartes achetées.

Publié par TP/Porcepic le 31-05-2012

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